与えられた関数 $\log y = \log \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$ を微分して、$y'$を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $\log y = \log \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$ を微分して、$y'$を求めます。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って式を簡略化します。

$\log \sqrt{a} = \frac{1}{2} \log a$ なので、

$\log y = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right)$

さらに、対数の性質 $\log \frac{a}{b} = \log a - \log b$ を用いると、

$\log y = \frac{1}{2} \left( \log(1-x^2) - \log(1+x^2) \right)$

次に、両辺を $x$ で微分します。連鎖律（chain rule）を使うと、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{-2x}{1-x^2} - \frac{2x}{1+x^2} \right)$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{-2x(1+x^2) - 2x(1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)} \right)$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{-2x - 2x^3 - 2x + 2x^3}{1-x^4} \right)$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{-4x}{1-x^4} \right)$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{1-x^4}$

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{-2x}{1-x^4}$

ここで、$y = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}} \cdot \frac{-2x}{1-x^4}$

$\frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}} \cdot \frac{-2x}{(1-x^2)(1+x^2)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{\sqrt{(1-x^2)(1+x^2)^3}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{\sqrt{(1-x^2)(1+x^2)^3}}$

または、$\frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}} \cdot \frac{-2x}{1-x^4}$