次の関数を微分する問題です。 (1) $y = \sqrt[3]{x^2 + x + 1}$ (2) $y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。

(1) $y = \sqrt[3]{x^2 + x + 1}$

(2) $y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt[3]{x^2 + x + 1} = (x^2 + x + 1)^{\frac{1}{3}}$を微分します。合成関数の微分を行います。

$y' = \frac{1}{3}(x^2 + x + 1)^{\frac{1}{3} - 1} \cdot (2x + 1)$

$y' = \frac{1}{3}(x^2 + x + 1)^{-\frac{2}{3}} \cdot (2x + 1)$

$y' = \frac{2x + 1}{3(x^2 + x + 1)^{\frac{2}{3}}}$

$y' = \frac{2x + 1}{3\sqrt[3]{(x^2 + x + 1)^2}}$

(2) $y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = (1 - x^2)^{-\frac{1}{2}}$を微分します。合成関数の微分を行います。

$y' = -\frac{1}{2}(1 - x^2)^{-\frac{1}{2} - 1} \cdot (-2x)$

$y' = -\frac{1}{2}(1 - x^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot (-2x)$

$y' = x(1 - x^2)^{-\frac{3}{2}}$

$y' = \frac{x}{(1 - x^2)^{\frac{3}{2}}}$

$y' = \frac{x}{\sqrt{(1 - x^2)^3}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{2x + 1}{3\sqrt[3]{(x^2 + x + 1)^2}}$

(2) $y' = \frac{x}{\sqrt{(1 - x^2)^3}}$