$a$ を定数とするとき、次の等式を示す問題です。 $\frac{d}{dx}\log(x+\sqrt{x^2+a}) = \frac{1}{\sqrt{x^2+a}}$

1. 問題の内容

$a$ を定数とするとき、次の等式を示す問題です。

$\frac{d}{dx}\log(x+\sqrt{x^2+a}) = \frac{1}{\sqrt{x^2+a}}$

2. 解き方の手順

左辺を計算して、右辺と一致することを示します。

まず、合成関数の微分法を用いると、

$\frac{d}{dx}\log(x+\sqrt{x^2+a}) = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+a}} \cdot \frac{d}{dx}(x+\sqrt{x^2+a})$

次に、$\frac{d}{dx}(x+\sqrt{x^2+a})$ を計算します。

$\frac{d}{dx}(x+\sqrt{x^2+a}) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2+a}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+a) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2+a}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+a}} = \frac{\sqrt{x^2+a}+x}{\sqrt{x^2+a}}$

したがって、

$\frac{d}{dx}\log(x+\sqrt{x^2+a}) = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+a}} \cdot \frac{\sqrt{x^2+a}+x}{\sqrt{x^2+a}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+a}}$

よって、与えられた等式が成り立つことが示されました。

3. 最終的な答え

$\frac{d}{dx}\log(x+\sqrt{x^2+a}) = \frac{1}{\sqrt{x^2+a}}$