与えられた2つの関数を微分する問題です。 (1) $y = (\frac{x^2-1}{x^2+1})^2$ (2) $y = (x-1)^2 \sqrt[3]{x+2}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数を微分する問題です。

(1) $y = (\frac{x^2-1}{x^2+1})^2$

(2) $y = (x-1)^2 \sqrt[3]{x+2}$

2. 解き方の手順

(1)

1. 合成関数の微分公式を使います。まず、$u = \frac{x^2-1}{x^2+1}$ とおくと、$y=u^2$ となります。

2. $y$を$u$で微分すると、$\frac{dy}{du} = 2u$となります。

3. 次に、$u$を$x$で微分します。$\frac{du}{dx} = \frac{(2x)(x^2+1) - (x^2-1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3+2x-2x^3+2x}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2}$

4. 合成関数の微分公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を使います。

$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot \frac{4x}{(x^2+1)^2} = 2(\frac{x^2-1}{x^2+1}) \cdot \frac{4x}{(x^2+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{8x(x^2-1)}{(x^2+1)^3}$

(2)

1. 積の微分公式を使います。$u = (x-1)^2$、 $v = \sqrt[3]{x+2} = (x+2)^{1/3}$ とおくと、$y=uv$ となります。

2. $\frac{dy}{dx} = u'v + uv'$ を計算します。

3. $u' = 2(x-1)$

4. $v' = \frac{1}{3}(x+2)^{-2/3}$

5. $\frac{dy}{dx} = 2(x-1) \sqrt[3]{x+2} + (x-1)^2 \cdot \frac{1}{3}(x+2)^{-2/3}$

$\frac{dy}{dx} = 2(x-1) (x+2)^{1/3} + \frac{(x-1)^2}{3(x+2)^{2/3}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{6(x-1)(x+2)+(x-1)^2}{3(x+2)^{2/3}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)[6(x+2)+(x-1)]}{3(x+2)^{2/3}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)(6x+12+x-1)}{3(x+2)^{2/3}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)(7x+11)}{3(x+2)^{2/3}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{8x(x^2-1)}{(x^2+1)^3}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)(7x+11)}{3(x+2)^{2/3}}$