与えられた級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (1 + \frac{1}{n})^{-n^2}$ の収束・発散を判定します。

1. 問題の内容

与えられた級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (1 + \frac{1}{n})^{-n^2}$ の収束・発散を判定します。

2. 解き方の手順

この級数の収束・発散を判定するために、根判定法を用います。

$a_n = (1 + \frac{1}{n})^{-n^2}$ とおくと、

$\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{(1 + \frac{1}{n})^{-n^2}} = (1 + \frac{1}{n})^{-n} = (\frac{n+1}{n})^{-n} = (\frac{n}{n+1})^{n}$

ここで、$\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n = e$ を用いると、

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n+1})^{n} = \lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})^{-n} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{-n} = \frac{1}{e}$

根判定法より、$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{1}{e}$ であり、$e \approx 2.718$ なので $\frac{1}{e} < 1$ です。

したがって、与えられた級数は収束します。

3. 最終的な答え

収束