放物線 $y = 4x - x^2$ と直線 $y = x$ で囲まれた部分を、$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = 4x - x^2$ と直線 $y = x$ で囲まれた部分を、$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線と直線の交点を求める。

$4x - x^2 = x$

$3x - x^2 = 0$

$x(3 - x) = 0$

したがって、$x = 0, 3$。

交点は $(0, 0)$ と $(3, 3)$。

回転体の体積 $V$ は、放物線を回転させてできる回転体の体積から、直線を回転させてできる回転体の体積を引くことで求められる。

回転体の体積の公式は、$V = \pi \int_a^b y^2 dx$ である。

放物線を回転させてできる回転体の体積 $V_1$ は、

$V_1 = \pi \int_0^3 (4x - x^2)^2 dx = \pi \int_0^3 (16x^2 - 8x^3 + x^4) dx$

$V_1 = \pi \left[ \frac{16}{3}x^3 - 2x^4 + \frac{1}{5}x^5 \right]_0^3 = \pi \left( \frac{16}{3}(27) - 2(81) + \frac{1}{5}(243) \right)$

$V_1 = \pi \left( 144 - 162 + \frac{243}{5} \right) = \pi \left( -18 + \frac{243}{5} \right) = \pi \left( \frac{-90 + 243}{5} \right) = \frac{153}{5}\pi$

直線を回転させてできる回転体の体積 $V_2$ は、

$V_2 = \pi \int_0^3 x^2 dx = \pi \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^3 = \pi \left( \frac{1}{3}(27) \right) = 9\pi$

したがって、求める回転体の体積 $V$ は、

$V = V_1 - V_2 = \frac{153}{5}\pi - 9\pi = \frac{153 - 45}{5}\pi = \frac{108}{5}\pi$

3. 最終的な答え

$\frac{108}{5}\pi$