$a>0, b>0$ とする。楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求めよ。

1. 問題の内容

$a>0, b>0$ とする。楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求めよ。

2. 解き方の手順

楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ より、

$\frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{x^2}{a^2}$

$y^2 = b^2(1 - \frac{x^2}{a^2})$

$y^2 = \frac{b^2}{a^2}(a^2 - x^2)$

回転体の体積 $V$ は、

$V = \pi \int_{-a}^{a} y^2 dx$

$V = \pi \int_{-a}^{a} \frac{b^2}{a^2}(a^2 - x^2) dx$

$V = \frac{\pi b^2}{a^2} \int_{-a}^{a} (a^2 - x^2) dx$

$V = \frac{\pi b^2}{a^2} [a^2 x - \frac{x^3}{3}]_{-a}^{a}$

$V = \frac{\pi b^2}{a^2} [(a^3 - \frac{a^3}{3}) - (-a^3 - \frac{-a^3}{3})]$

$V = \frac{\pi b^2}{a^2} [(a^3 - \frac{a^3}{3}) - (-a^3 + \frac{a^3}{3})]$

$V = \frac{\pi b^2}{a^2} [a^3 - \frac{a^3}{3} + a^3 - \frac{a^3}{3}]$

$V = \frac{\pi b^2}{a^2} [2a^3 - \frac{2a^3}{3}]$

$V = \frac{\pi b^2}{a^2} [\frac{6a^3 - 2a^3}{3}]$

$V = \frac{\pi b^2}{a^2} [\frac{4a^3}{3}]$

$V = \frac{4}{3} \pi ab^2$

3. 最終的な答え

$V = \frac{4}{3} \pi ab^2$