関数 $y = e^x(\sin x + \cos x)$ について、次の等式が成り立つことを示す問題です。 $y'' - 2y' + 2y = 0$

1. 問題の内容

関数 $y = e^x(\sin x + \cos x)$ について、次の等式が成り立つことを示す問題です。

$y'' - 2y' + 2y = 0$

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $x$ で微分して $y'$ を求めます。積の微分公式を使います。

$y' = \frac{d}{dx} [e^x(\sin x + \cos x)] = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = e^x(\sin x + \cos x + \cos x - \sin x) = 2e^x \cos x$

次に、$y'$ を $x$ で微分して $y''$ を求めます。再び積の微分公式を使います。

$y'' = \frac{d}{dx} [2e^x \cos x] = 2e^x \cos x + 2e^x(-\sin x) = 2e^x(\cos x - \sin x)$

最後に、$y'' - 2y' + 2y$ を計算し、これが 0 になることを確認します。

$y'' - 2y' + 2y = 2e^x(\cos x - \sin x) - 2(2e^x \cos x) + 2(e^x(\sin x + \cos x))$

$= 2e^x \cos x - 2e^x \sin x - 4e^x \cos x + 2e^x \sin x + 2e^x \cos x$

$= (2 - 4 + 2)e^x \cos x + (-2 + 2)e^x \sin x$

$= 0 \cdot e^x \cos x + 0 \cdot e^x \sin x = 0$

したがって、$y'' - 2y' + 2y = 0$ が成り立つことが示されました。

3. 最終的な答え

$y'' - 2y' + 2y = 0$ が成り立つ。