与えられた6つの関数を微分する問題です。ただし、(6)の関数における $a$ は $1$ でない正の定数とします。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数を微分する問題です。ただし、(6)の関数における $a$ は $1$ でない正の定数とします。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{1 + \cos x}$

分数の微分公式 $\left( \frac{1}{f(x)} \right)' = -\frac{f'(x)}{[f(x)]^2}$ を用います。

$y' = -\frac{(1 + \cos x)'}{(1 + \cos x)^2} = -\frac{-\sin x}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\sin x}{(1 + \cos x)^2}$

(2) $y = \sin^2 x \cos 2x$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ と合成関数の微分公式を用います。

$\sin^2 x = (\sin x)^2$ より、$(\sin^2 x)' = 2 \sin x \cos x = \sin 2x$

$(\cos 2x)' = -2 \sin 2x$

よって、

$y' = (\sin^2 x)' \cos 2x + \sin^2 x (\cos 2x)' = \sin 2x \cos 2x + \sin^2 x (-2 \sin 2x) = \sin 2x (\cos 2x - 2\sin^2 x) = \sin 2x (\cos 2x - 2(1 - \cos^2 x)) = \sin 2x (\cos 2x - 2 + 2 \cos^2 x) = \sin 2x (2 \cos^2 x + \cos 2x - 2)$

ここで、$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ を用いると、

$y' = \sin 2x (\cos 2x + \cos 2x - 1 - 2) = \sin 2x (2\cos 2x - 3)$

(3) $y = (\log x)^2$

合成関数の微分公式を用います。

$y' = 2 (\log x) (\log x)' = 2 (\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \log x}{x}$

(4) $y = \log \left| \frac{x + 1}{x + 2} \right|$

対数の性質 $\log \left| \frac{a}{b} \right| = \log |a| - \log |b|$ を利用します。

$y = \log |x + 1| - \log |x + 2|$

$y' = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{(x + 2) - (x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{1}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{1}{x^2 + 3x + 2}$

(5) $y = \frac{e^x}{e^x + 1}$

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$y' = \frac{(e^x)' (e^x + 1) - e^x (e^x + 1)'}{(e^x + 1)^2} = \frac{e^x (e^x + 1) - e^x \cdot e^x}{(e^x + 1)^2} = \frac{e^{2x} + e^x - e^{2x}}{(e^x + 1)^2} = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}$

(6) $y = a^{2x + 1}$

合成関数の微分公式と $y = a^x$ の微分 $y' = a^x \log a$ を用います。

$y' = a^{2x + 1} \log a \cdot (2x + 1)' = a^{2x + 1} \log a \cdot 2 = 2 a^{2x + 1} \log a$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{\sin x}{(1 + \cos x)^2}$

(2) $y' = \sin 2x (2\cos 2x - 3)$

(3) $y' = \frac{2 \log x}{x}$

(4) $y' = \frac{1}{(x + 1)(x + 2)}$

(5) $y' = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}$

(6) $y' = 2 a^{2x + 1} \log a$