2つの関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$ と $g(x) = -9x^2 + 27x + k$ について、$x \ge 0$ であるすべての $x$ に対して $f(x) \ge g(x)$ となるような実数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$ と $g(x) = -9x^2 + 27x + k$ について、$x \ge 0$ であるすべての $x$ に対して $f(x) \ge g(x)$ となるような実数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$h(x) = f(x) - g(x)$ を定義します。

$h(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - (-9x^2 + 27x + k)$

$h(x) = x^3 + 6x^2 - 36x - k$

問題は、$x \ge 0$ において $h(x) \ge 0$ となるような $k$ の範囲を求めることに帰着します。

$h(x) \ge 0$ は $k \le x^3 + 6x^2 - 36x$ と書き換えられます。

$k \le x^3 + 6x^2 - 36x$ が $x \ge 0$ で常に成立するための $k$ の条件は、$x \ge 0$ における $x^3 + 6x^2 - 36x$ の最小値を $m$ とすると、$k \le m$ となります。

そこで、$x \ge 0$ における $h_1(x) = x^3 + 6x^2 - 36x$ の最小値を求めます。

$h_1'(x) = 3x^2 + 12x - 36 = 3(x^2 + 4x - 12) = 3(x+6)(x-2)$

$h_1'(x) = 0$ となるのは $x=-6$ または $x=2$ のときです。

$x \ge 0$ なので、$x=2$ のみを考慮します。

$x=2$ の前後で $h_1'(x)$ の符号を調べると、

$0 \le x < 2$ のとき $h_1'(x) < 0$

$x > 2$ のとき $h_1'(x) > 0$

となるので、$x=2$ で極小かつ最小となります。

$h_1(2) = 2^3 + 6(2^2) - 36(2) = 8 + 24 - 72 = -40$

よって、$k \le -40$ となります。

3. 最終的な答え

$k \le -40$