直角三角形ABCにおいて、$\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 60^\circ$, $a=5$である。辺bの長さを求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 60^\circ$, $a=5$である。辺bの長さを求める。

2. 解き方の手順

三角形ABCは、$\angle A = 90^\circ$, $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 60^\circ$の直角三角形である。

$a$は$\angle A$に対する辺の長さ（BCの長さ）を表し、$b$は$\angle B$に対する辺の長さ（ACの長さ）を表す。

$\sin$、$\cos$、$\tan$の定義を利用する。

$\sin B = \frac{b}{c}$, $\cos B = \frac{a}{c}$, $\tan B = \frac{b}{a}$

$\sin C = \frac{c}{c}$, $\cos C = \frac{b}{c}$, $\tan C = \frac{c}{b}$

$\sin 30^\circ = \frac{b}{a}$, $\tan 30^\circ = \frac{b}{5}$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$なので、$\frac{b}{5} = \frac{1}{2}$。したがって、$b = \frac{5}{2} = 2.5$。

別の方法として、

$\tan 60^\circ = \frac{c}{b}$, $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$

$\frac{c}{b} = \sqrt{3}$。

$\tan 30^\circ = \frac{b}{a}$

$\frac{b}{5} = \frac{1}{\sqrt{3}}$なので、$b = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ではない。

$\sin 30^{\circ} = \frac{b}{a} = \frac{b}{5}$. $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$なので、$\frac{b}{5} = \frac{1}{2}$.

したがって、$b = \frac{5}{2}=2.5$。

3. 最終的な答え

2. 5