$\cos \theta = \frac{2}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めなさい。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ とする。

1. 問題の内容

$\cos \theta = \frac{2}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めなさい。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ とする。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して、$\sin \theta$ の値を求めます。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\sin^2 \theta + \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{4}{25} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{4}{25}$

$\sin^2 \theta = \frac{25}{25} - \frac{4}{25}$

$\sin^2 \theta = \frac{21}{25}$

$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ のとき、$\sin \theta \ge 0$ であるから、

$\sin \theta = \sqrt{\frac{21}{25}}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{21}}{5}$

次に、$\tan \theta$ の値を求めます。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であるから、

$\tan \theta = \frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{\frac{2}{5}}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{21}}{5} \times \frac{5}{2}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{21}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{21}}{2}$