三角形ABCにおいて、点Qは辺ABを3:2に内分し、点Rは辺BCを1:2に内分する。線分ARと線分CQの交点をOとするとき、AO:ORを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ABを3:2に内分し、点Rは辺BCを1:2に内分する。線分ARと線分CQの交点をOとするとき、AO:ORを求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は、チェバの定理とメネラウスの定理を用いて解くことができます。まずは、チェバの定理を使って比を求め、その後メネラウスの定理を使ってAO:ORを求めます。

(1) チェバの定理を用いる。

チェバの定理より、

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

ここで、Pは線分AB上のある点とします。

問題文と図より、$AQ:QB = 3:2$、$BR:RC = 1:2$であるから、

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{CP}{PA} = \frac{4}{3}$

(2) メネラウスの定理を用いる。

三角形BCRと直線CQについてメネラウスの定理より、

$\frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} \cdot \frac{AQ}{QB} = 1$

問題文と図より、$BC:CR = (1+2):2 = 3:2$、$AQ:QB = 3:2$であるから、

$\frac{3}{2} \cdot \frac{RO}{OA} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$\frac{RO}{OA} = \frac{4}{9}$

よって、$\frac{AO}{OR} = \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

AO:OR = 9:4