三角形ABCの外心Oが与えられています。$\angle BAC = 60^\circ$、$\angle ABO = 17^\circ$ のとき、$\angle ACB$の大きさを求めなさい。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心Oが与えられています。$\angle BAC = 60^\circ$、$\angle ABO = 17^\circ$ のとき、$\angle ACB$の大きさを求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、外心の性質を利用して、$\angle BOC$を求めます。$\angle BOC$は$\angle BAC$の2倍なので、

$\angle BOC = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$

次に、$\triangle OAB$に着目します。Oは外心なので、$OA = OB$であり、$\triangle OAB$は二等辺三角形です。したがって、$\angle OAB = \angle OBA = 17^\circ$です。

$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (17^\circ + 17^\circ) = 180^\circ - 34^\circ = 146^\circ$

同様に$\triangle OAC$も二等辺三角形なので、$OA = OC$です。$\angle BAC = 60^\circ$なので、$\angle OAB = 17^\circ$から、

$\angle OAC = \angle BAC - \angle OAB = 60^\circ - 17^\circ = 43^\circ$

したがって、$\angle OCA = \angle OAC = 43^\circ$

$\angle OCB = x$とおくと、$OB=OC$より$\triangle OBC$も二等辺三角形なので、$\angle OBC = \angle OCB = x$

$\angle BOC = 120^\circ$なので、

$x + x + 120^\circ = 180^\circ$

$2x = 60^\circ$

$x = 30^\circ$

$\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 17^\circ + 30^\circ = 47^\circ$

$\angle ACB = \angle OCA + \angle OCB = 43^\circ + 30^\circ = 73^\circ$

$\angle ACB$は$\angle P$と書かれているので、$\angle P=73^{\circ}$が答えです。

3. 最終的な答え

73