三角形ABCにおいて、$b=2\sqrt{2}$, $c=\sqrt{2}+\sqrt{6}$, $A=30^\circ$のとき、残りの辺の長さ$a$と角$B$, $C$の大きさを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b=2\sqrt{2}$, $c=\sqrt{2}+\sqrt{6}$, $A=30^\circ$のとき、残りの辺の長さ$a$と角$B$, $C$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて$a$の値を求めます。余弦定理は、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

これに与えられた値を代入します。

$a^2 = (2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2}+\sqrt{6})^2 - 2(2\sqrt{2})(\sqrt{2}+\sqrt{6})\cos 30^\circ$

$a^2 = 8 + (2 + 2\sqrt{12} + 6) - 4\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{6})\frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2 = 8 + 8 + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})\sqrt{3}$

$a^2 = 16 + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{2}(\sqrt{18}+\sqrt{6})$

$a^2 = 16 + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{2}(3\sqrt{2}+\sqrt{6})$

$a^2 = 16 + 4\sqrt{3} - 2(6 + 2\sqrt{3})$

$a^2 = 16 + 4\sqrt{3} - 12 - 4\sqrt{3}$

$a^2 = 4$

$a = 2$

次に、正弦定理を用いて角$B$を求めます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{2}{\sin 30^\circ} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin B}$

$\frac{2}{1/2} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin B}$

$4 = \frac{2\sqrt{2}}{\sin B}$

$\sin B = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$B = 45^\circ$ または $B = 135^\circ$

$A+B+C = 180^\circ$より、$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 30^\circ - B = 150^\circ - B$

もし$B = 135^\circ$なら、$C = 15^\circ$。このとき、$c>b>a$なので、$C>B>A$を満たさず不適。

したがって、$B = 45^\circ$。

$C = 150^\circ - 45^\circ = 105^\circ$

3. 最終的な答え

$a = 2$, $B = 45^\circ$, $C = 105^\circ$