## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

問題19は、二等辺三角形ABCにおいて、AB=ACであり、辺AC上に点Dが$\angle ABD = 2 \angle CBD$となるように取られている。$\angle ADB = 92^\circ$のとき、$\angle BAC$の大きさを求める問題である。

問題20は、2地点A, Bを結ぶ道がある。P君はAからBへ、Q君はBからAへ同時に出発し、それぞれ一定の速さで進む。出発してから2時間30分後にBから20kmの地点ですれ違い、P君がBに到着してから3時間45分後にQ君がAに到着したとき、A, B間の距離を求める問題である。

##

2. 解き方の手順

### 問題19

1. $\angle CBD$を$x$とおくと、$\angle ABD = 2x$となる。

2. $\triangle ABD$において、内角の和は180°なので、$\angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ$より、$\angle BAD + 2x + 92^\circ = 180^\circ$。したがって、$\angle BAD = 88^\circ - 2x$。

3. $\triangle ABC$は二等辺三角形なので、$\angle ABC = \angle ACB$。$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 2x + x = 3x$。したがって、$\angle ACB = 3x$。

4. $\triangle ABC$において、内角の和は180°なので、$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$より、$(88^\circ - 2x) + 3x + 3x = 180^\circ$。

5. これを解くと、$4x = 92^\circ$より、$x = 23^\circ$。

6. $\angle BAC = 88^\circ - 2x = 88^\circ - 2 \times 23^\circ = 88^\circ - 46^\circ = 42^\circ$。

### 問題20

1. A, B間の距離を$x$ kmとする。

2. P君とQ君がすれ違うまでの時間を$t=2.5$時間とする。この時、Q君は$x-20$km進み、P君は$20$km進む。

3. P君の速さを$v_P$ km/h、Q君の速さを$v_Q$ km/hとする。すると、$v_P = \frac{20}{2.5} = 8$ km/h、$v_Q = \frac{x-20}{2.5}$ km/hとなる。

4. P君がBに到着するまでの時間は$\frac{x-20}{v_P} = \frac{x-20}{8}$時間である。

5. 問題文より、P君がBに到着してから3時間45分(3.75時間)後にQ君がAに到着するので、Q君がAに到着するまでの時間は$2.5 + 3.75 + \frac{x-20}{8} = 6.25 + \frac{x-20}{8}$時間である。

6. Q君の速さは$\frac{x}{6.25 + \frac{x-20}{8}}$と表せるが、これは$\frac{x-20}{2.5}$とも表せるので、

$\frac{x-20}{2.5} = \frac{x}{6.25 + \frac{x-20}{8}}$

7. 両辺に $2.5*(6.25 + (x-20)/8)$をかけると、

$(x-20)(6.25 + (x-20)/8) = 2.5x$

$6.25x - 125 + \frac{(x-20)^2}{8} = 2.5x$

$6.25x - 125 + \frac{x^2-40x+400}{8} = 2.5x$

$50x - 1000 + x^2 - 40x + 400 = 20x$

$x^2 - 10x - 600 = 0$

$(x-30)(x+20) = 0$

$x=30$

##

3. 最終的な答え

問題19: $\angle BAC = 42^\circ$

問題20: A, B間の距離は30km