平行四辺形ABCDがあり、$\angle CBA = \angle DAE = 60^{\circ}$ である。また、$BC = 3BA$ であり、平行四辺形ABCDの面積が $10 \ cm^2$ であるとき、$\triangle BEF$ の面積を求める。

## 問題3

1. **問題の内容**

平行四辺形ABCDがあり、$\angle CBA = \angle DAE = 60^{\circ}$ である。また、$BC = 3BA$ であり、平行四辺形ABCDの面積が $10 \ cm^2$ であるとき、$\triangle BEF$ の面積を求める。

2. **解き方の手順**

* $\triangle BEF$ の面積を求めるために、まず$\triangle ABE$ の面積を求める。

* 平行四辺形ABCDの面積は底辺 $AB$ と高さ $h$ の積で表される。

$BC = 3BA$ なので、$AB = x$ とすると、$BC = 3x$となる。

$\angle CBA = 60^{\circ}$より、$h = 3x \cdot \sin(60^{\circ}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}x$

したがって、平行四辺形ABCDの面積は $x \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}x = \frac{3\sqrt{3}}{2}x^2$ である。

これが $10 cm^2$ に等しいので、$x^2 = \frac{20}{3\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{9}$

よって、$x = \sqrt{\frac{20\sqrt{3}}{9}} = \frac{2\sqrt{5\sqrt{3}}}{3}$

* 二等辺三角形DAEと二等辺三角形ABFについて、$DA=AE, BA=AF$ かつ $\angle DAE = \angle BAF = 60^{\circ}$なので、$AE = \frac{2\sqrt{5\sqrt{3}}}{3}$

* $\triangle ABE$ について、$AB= \frac{2\sqrt{5\sqrt{3}}}{3}, AE = \frac{2\sqrt{5\sqrt{3}}}{3}$, $\angle BAE = \angle BAC + 60^\circ$

$\angle BAC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$より、$\angle BAE = 180^{\circ}$、これは一直線であることを意味する。

したがって、$\triangle ABE$は存在しない。

おそらく問題文に誤りがあるため、$\angle CBA = \angle DAE = 60^{\circ}$ ではなく、$\angle CBA = \angle DAE$と読み替える。

* $\triangle ABE$ の面積を求めようとする場合、$AB=x, AE=DA$。

平行四辺形の性質より$AD=BC=3x$なので$AE=3x$。

$\triangle ABE$ の面積 = $\frac{1}{2} x\cdot3x \cdot \sin{\angle BAE} = \frac{3}{2}x^2 \sin{\angle BAE}$

$\angle BAE = \angle BAC + \angle CAE = \angle BAC + \angle CAD - 60^{\circ} = 120^{\circ} + \angle CAD - 60^{\circ}$

$\angle BAE = 60^{\circ} + \angle CAD$

$\angle CBA = \angle DAE$のとき$\angle BAE = 60^{\circ}+\angle CAD$なので、$\angle CAD$がわからなければ$\triangle ABE$の面積は求められない。

* $\triangle BEF$ の面積を求める方針を変える。

* **別の解法**

$\angle CBA = \angle DAE = 60^\circ$、 $BC = 3BA$ である平行四辺形 $ABCD$ の面積が $10 \ cm^2$ であるとき、$\triangle BEF$ の面積を求める。

平行四辺形の面積は $AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = AB \cdot 3AB \cdot \sin(60^\circ) = 3(AB)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} (AB)^2 = 10$

よって、$(AB)^2 = \frac{20}{3\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{9}$

$AB = \sqrt{\frac{20\sqrt{3}}{9}} = \frac{2}{3} \sqrt{5\sqrt{3}}$

$AE = AD = BC = 3 AB = 2\sqrt{5\sqrt{3}}$

$AF = AB = \frac{2}{3} \sqrt{5\sqrt{3}}$

$\triangle ABE = \frac{1}{2} AB \cdot AE \sin(\angle BAE)$, $\triangle ABF = \frac{1}{2} AB \cdot AF \sin(\angle BAF)$

$\angle BAE = \angle BAC + 60 = (180 - 60) + 60 = 180 = 0$, $\triangle ABE = 0$となり矛盾する。

この問題は解くことができません。

3. **最終的な答え**

解けません。