直線 $l: 2x - y + 2 = 0$ に関して点 $A(2, 1)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: 2x - y + 2 = 0$ に関して点 $A(2, 1)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

点$B$の座標を$(x, y)$とする。

ステップ1：線分$AB$の中点が直線$l$上にある。

線分$AB$の中点の座標は $(\frac{x+2}{2}, \frac{y+1}{2})$ である。この中点が直線 $2x - y + 2 = 0$ 上にあるので、

$$2(\frac{x+2}{2}) - (\frac{y+1}{2}) + 2 = 0$$

これを整理すると、

$$2x + 4 - y - 1 + 4 = 0$$

$$2x - y + 7 = 0$$

ステップ2：直線$AB$が直線$l$と垂直である。

直線$AB$の傾きは $\frac{y-1}{x-2}$ であり、直線$l$の傾きは $2$ である。垂直条件より、

$$\frac{y-1}{x-2} \cdot 2 = -1$$

$$2(y-1) = -(x-2)$$

$$2y - 2 = -x + 2$$

$$x + 2y - 4 = 0$$

ステップ3：連立方程式を解く。

連立方程式

$$2x - y + 7 = 0$$

$$x + 2y - 4 = 0$$

を解く。2番目の式を2倍して$2x + 4y - 8 = 0$とし、1番目の式から引くと、

$$-5y + 15 = 0$$

$$y = 3$$

$y=3$を2番目の式に代入すると、

$$x + 2(3) - 4 = 0$$

$$x + 6 - 4 = 0$$

$$x = -2$$

したがって、点$B$の座標は $(-2, 3)$ である。

3. 最終的な答え

$(-2, 3)$