図において、ABとDEが平行であり、点FとGがそれぞれ線分BDとAEの中点であるとき、線分FGの長さを求める問題です。

1. 問題の内容

図において、ABとDEが平行であり、点FとGがそれぞれ線分BDとAEの中点であるとき、線分FGの長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCと三角形EDCが相似であることに注目します。

ABとDEが平行なので、相似比はAB:DE = 3:5となります。

線分AEの中点をG、線分BDの中点をFとすると、

線分CGの延長線上に点G、線分CFの延長線上に点Fがあります。

ここで、線分FGを求めるために、線分CDをa、線分CEをbとします。

三角形CFGと三角形CDEの相似に着目します。

CD:CF = CE:CG = DE:FG

CF = CD + DF = a + BD/2 = a + 3

CG = CE + EG = b + AE/2 = b + 5

ここで、CF:CD = (a + 3):a

CG:CE = (b + 5):b

ABとDEが平行なので、

$\frac{CF}{CD} = \frac{CG}{CE}$

$\frac{a + 3}{a} = \frac{b + 5}{b}$

$\frac{CD}{CE} = \frac{AB}{DE}$ より

$\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$

$\frac{a + 3}{a} = \frac{b + 5}{b}$を変形して、

$1 + \frac{3}{a} = 1 + \frac{5}{b}$

$\frac{3}{a} = \frac{5}{b}$

$\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$

次に、FGをxとすると、

$\frac{x}{DE} = \frac{CF}{CD} = \frac{CG}{CE}$は成り立ちません。

直線AEと直線BDの交点をOとする。

$\triangle OAB$と$\triangle ODE$は相似で、相似比は$3:5$。

$OA:OD=OB:OE=3:5$

$OA = 3k, OD = 5k, OB = 3l, OE = 5l$

$OF = OD - DF = 5k - \frac{3+5}{2} = 5k-4$

$OG = OE - EG = 5l - \frac{3+5}{2} = 5l-4$

$\frac{FG}{8} \neq \frac{3}{5}$

中点連結定理を利用します。点FからDEに平行な線を引き、AEとの交点をHとします。また、点GからDEに平行な線を引き、BDとの交点をIとします。

△BDEにおいて、FはBDの中点なのでFH = DE/2 = 5/2

△ADEにおいて、GはAEの中点なのでGI = DE/2 = 5/2

台形FHIGを考えると、

FGの中点Mを考える。

FG = (AB+DE)/2

しかし、ABとDEの間の高さは与えられていない。

点GからABに平行な直線を引き、BDとの交点をKとします。

△ADEにおいて、GK = AB/2 = 3/2

FK = BD/2 - BK

△ADG ∽ △GKE

FG = $\frac{AB+DE}{2}$

FG = $\frac{3+5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

3. 最終的な答え

4 cm