三角形ABCにおいて、辺BC上に点Dがあり、$AB = \sqrt{6} + \sqrt{2}$, $CD = \sqrt{2}$, $\angle ABC = 30^\circ$, $\angle ADC = 45^\circ$を満たす。 (1) ADはいくらか。 (2) ACはいくらか。 (3) $\angle CAD$はいくらか。 (4) $\cos 15^\circ$はいくらか。 (5) $\triangle ABC$の面積はいくらか。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BC上に点Dがあり、$AB = \sqrt{6} + \sqrt{2}$, $CD = \sqrt{2}$, $\angle ABC = 30^\circ$, $\angle ADC = 45^\circ$を満たす。

(1) ADはいくらか。

(2) ACはいくらか。

(3) $\angle CAD$はいくらか。

(4) $\cos 15^\circ$はいくらか。

(5) $\triangle ABC$の面積はいくらか。

2. 解き方の手順

(1) ADを求める

$\triangle ABD$において、$\angle ADB = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

$\triangle ABD$に正弦定理を適用すると、

$\frac{AD}{\sin 30^\circ} = \frac{AB}{\sin 135^\circ}$

$AD = \frac{AB \sin 30^\circ}{\sin 135^\circ} = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3} + 1$

(2) ACを求める

$\triangle ADC$において、$\angle DAC = \alpha$とすると、$\angle ACD = 180^\circ - (45^\circ + \alpha) = 135^\circ - \alpha$

$\triangle ADC$に正弦定理を適用すると、

$\frac{AD}{\sin \angle ACD} = \frac{CD}{\sin \angle DAC}$

$\frac{\sqrt{3}+1}{\sin(135^\circ - \alpha)} = \frac{\sqrt{2}}{\sin \alpha}$

$(\sqrt{3}+1)\sin\alpha = \sqrt{2} \sin(135^\circ - \alpha) = \sqrt{2}(\sin 135^\circ \cos \alpha - \cos 135^\circ \sin \alpha) = \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha)$

$(\sqrt{3}+1)\sin\alpha = \cos \alpha + \sin \alpha$

$\sqrt{3}\sin\alpha = \cos \alpha$

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\alpha = 30^\circ$

$\triangle ADC$において、$\angle ACD = 135^\circ - 30^\circ = 105^\circ$

$\triangle ADC$に余弦定理を適用すると、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cos 45^\circ = (\sqrt{3}+1)^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 (\sqrt{3}+1) \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = 3+2\sqrt{3}+1+2 - 2(\sqrt{3}+1) = 6+2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 2 = 4$

$AC = 2$

(3) $\angle CAD$を求める

$\angle CAD = \alpha = 30^\circ$

(4) $\cos 15^\circ$を求める

$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(5) $\triangle ABC$の面積を求める

$\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - (30^\circ + 105^\circ) = 45^\circ$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC = \frac{1}{2} (\sqrt{6}+\sqrt{2}) \cdot 2 \cdot \sin 45^\circ = (\sqrt{6}+\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{3} + 1$

3. 最終的な答え

(1) $AD = \sqrt{3} + 1$

(2) $AC = 2$

(3) $\angle CAD = 30^\circ$

(4) $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(5) $\triangle ABC$の面積 = $\sqrt{3} + 1$