三角形ABCにおいて、辺ABの長さ（通常は$c$で表される）が12、角Aが60度、角Bが45度のとき、辺BCの長さ$a$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABの長さ（通常は$c$で表される）が12、角Aが60度、角Bが45度のとき、辺BCの長さ$a$を求める。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いて解く。正弦定理は以下の通り。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

今回は、$b = 12$, $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$が与えられているので、以下の関係式を用いる。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

この式に与えられた値を代入すると、

$\frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{12}{\sin 45^\circ}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$であるから、

$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

両辺に$\frac{\sqrt{3}}{2}$を掛けると、

$a = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a = 12 \times \frac{2}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

分母を有理化するために、分母と分子に$\sqrt{2}$をかけると、

$a = 12 \times \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = 12 \times \frac{\sqrt{6}}{2} = 6\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$a = 6\sqrt{6}$