円に内接する四角形 $ABCD$ において、$AB = 5$, $BC = 4$, $CD = 4$, $DA = 2$ とする。対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $P$ とする。 (1) 三角形 $APB$ の外接円の半径を $R_1$, 三角形 $APD$ の外接円の半径を $R_2$ とするとき、$\frac{R_1}{R_2}$ の値を求めよ。 (2) $AC$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形 $ABCD$ において、$AB = 5$, $BC = 4$, $CD = 4$, $DA = 2$ とする。対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $P$ とする。

(1) 三角形 $APB$ の外接円の半径を $R_1$, 三角形 $APD$ の外接円の半径を $R_2$ とするとき、$\frac{R_1}{R_2}$ の値を求めよ。

(2) $AC$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

円に内接する四角形の性質より、$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$ である。$\angle APB = \angle DPC$ (対頂角) であるから、

$\angle PAB = \angle DAB - \angle DAP$ かつ $\angle PDC = \angle ADC - \angle ADP$ である.

$\angle APB = \angle DPC$ であり、$A, B, C, D$ は同一円周上にあることから $\angle ABP = \angle CDP$ となるので, $\triangle APB \sim \triangle DPC$ が成り立つ.

$\triangle APD \sim \triangle BPC$ も同様にして言える.

$\triangle APB$ の外接円の半径 $R_1$ について, 正弦定理より

$\frac{AB}{\sin \angle APB} = 2R_1$

$\triangle APD$ の外接円の半径 $R_2$ について, 正弦定理より

$\frac{AD}{\sin \angle APD} = 2R_2$

したがって

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{AB}{AD} \cdot \frac{\sin \angle APD}{\sin \angle APB} = \frac{AB}{AD} = \frac{5}{2}$

(2)

余弦定理より, $\angle ADC = \theta$ とすると, $\angle ABC = 180^\circ - \theta$ であるから,

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cos \theta = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos (180^\circ - \theta)$

$2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cos \theta = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cos (180^\circ - \theta)$

$4 + 16 - 16 \cos \theta = 25 + 16 + 40 \cos \theta$

$20 - 16 \cos \theta = 41 + 40 \cos \theta$

$56 \cos \theta = -21$

$\cos \theta = -\frac{21}{56} = -\frac{3}{8}$

よって

$AC^2 = 4 + 16 - 16 \left(-\frac{3}{8}\right) = 20 + 6 = 26$

$AC = \sqrt{26}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{R_1}{R_2} = \frac{5}{2}$

(2) $AC = \sqrt{26}$