底面の半径が4cm、母線の長さが16cmの円錐がある。底面の周上の点Aから円錐の側面を1周して元の点Aまで、ひもをゆるまないようにかける。 (1) 円錐の展開図で、側面のおうぎ形の中心角を求める。 (2) ひもの長さが最も短くなるときの、その長さを求める。

1. 問題の内容

底面の半径が4cm、母線の長さが16cmの円錐がある。底面の周上の点Aから円錐の側面を1周して元の点Aまで、ひもをゆるまないようにかける。

(1) 円錐の展開図で、側面のおうぎ形の中心角を求める。

(2) ひもの長さが最も短くなるときの、その長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 円錐の展開図における側面のおうぎ形の中心角を求める。

おうぎ形の弧の長さは、底面の円周と等しい。底面の円周は $2 \pi \times 4 = 8 \pi$ cm。

おうぎ形の半径は母線の長さと等しく、16cm。

おうぎ形の中心角を $\theta$ とすると、おうぎ形の弧の長さは $2 \pi \times 16 \times \frac{\theta}{360}$ 。

$2 \pi \times 16 \times \frac{\theta}{360} = 8 \pi$

$32 \pi \times \frac{\theta}{360} = 8 \pi$

$\frac{\theta}{360} = \frac{8 \pi}{32 \pi} = \frac{1}{4}$

$\theta = \frac{360}{4} = 90$

よって、中心角は90度。

(2) ひもの長さが最も短くなるとき、それは展開図上で点Aから点Aを結ぶ直線となる。

展開図は、半径16cm、中心角90度のおうぎ形。

点Aから点Aを結ぶ線分（ひも）の長さを $x$ とすると、余弦定理より

$x^2 = 16^2 + 16^2 - 2 \times 16 \times 16 \times \cos{90^\circ}$

$x^2 = 256 + 256 - 0 = 512$

$x = \sqrt{512} = \sqrt{256 \times 2} = 16\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 90

(2) $16\sqrt{2}$