三角形ABCがあり、辺ABを2:1に内分する点をR、辺ACを4:3に内分する点をQとする。線分BQとCRの交点をO、直線AOと辺BCの交点をPとする。このとき、BP:PC、AO:OP、三角形OBP:三角形ABCを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、辺ABを2:1に内分する点をR、辺ACを4:3に内分する点をQとする。線分BQとCRの交点をO、直線AOと辺BCの交点をPとする。このとき、BP:PC、AO:OP、三角形OBP:三角形ABCを求める。

2. 解き方の手順

(1) BP:PCを求める。チェバの定理を用いる。チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

AR:RB = 2:1、CQ:QA = 3:4なので、

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{3}{4} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3}$

よって、BP:PC = 2:3

(2) AO:OPを求める。メネラウスの定理を三角形APCと直線BQに対して用いる。

$\frac{AO}{OP} \cdot \frac{PB}{BC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

BP:PC=2:3より、PB:BC=2:5、CQ:QA=3:4なので、

$\frac{AO}{OP} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = 1$

$\frac{AO}{OP} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{10}{3}$

よって、AO:OP = 10:3

(3) 三角形OBP:三角形ABCを求める。

三角形OBPの面積をS(OBP)と表す。

$S(OBP) = \frac{BP}{BC} \cdot S(OBC)$

$S(OBC) = \frac{OC}{RC} \cdot S(RBC)$

$S(RBC) = \frac{RB}{AB} \cdot S(ABC)$

$\frac{BP}{BC} = \frac{2}{5}$

メネラウスの定理を三角形ABQと直線CRに対して用いると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{QC}{CA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{3}{7} = 1$

$\frac{BO}{OQ} = \frac{7}{6}$

メネラウスの定理を三角形ACRと直線BQに対して用いると、

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CB}{BP} \cdot \frac{PO}{OA} = 1$

$\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{PO}{OA} = 1$

$\frac{PO}{OA} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

よって、$\frac{OA}{OP} = \frac{10}{3}$

再び、チェバの定理より、$\frac{OC}{CR}$を求めるために、三角形ABCにチェバの定理を適用すると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = 1$

ここで、S(ABC) = 1とすると、

$S(OBC) = \frac{S(RBC) \cdot OC}{RC} = \frac{OC}{CR} \cdot \frac{RB}{AB} \cdot S(ABC)$

$S(OBC) = \frac{OC}{RC} \cdot \frac{1}{3}$

メネラウスの定理を三角形ACRと直線BOに対して用いると、

$\frac{CB}{BP} \cdot \frac{PO}{OA} \cdot \frac{AQ}{QC} = 1$

$\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{10} \cdot \frac{4}{3} = 1$

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{3}{4} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{2}{3}$

ここで、三角形BCOと三角形RBCの面積比を考えると、

$S(BCO) = \frac{BO}{BQ} \cdot S(BCQ)$

$\frac{S(BCO)}{S(ABC)} = \frac{BO}{BQ} \cdot \frac{CQ}{AC} = \frac{BO}{BQ} \cdot \frac{3}{7}$

$\frac{S(RBC)}{S(ABC)} = \frac{BR}{AB} = \frac{1}{3}$

メネラウスの定理より、$\frac{BO}{OQ} = \frac{7}{6}$なので、$\frac{BO}{BQ} = \frac{7}{13}$

$\frac{S(BCO)}{S(ABC)} = \frac{7}{13} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{13}$

よって、$S(BOP) = \frac{BP}{BC} \cdot S(BOC) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{13} = \frac{6}{65}$

三角形OBP:三角形ABC = 6:65

3. 最終的な答え

(1) BP:PC = 2:3

(2) AO:OP = 10:3

(3) 三角形OBP:三角形ABC = 6:65