三角形ABCにおいて、$b=2$, $c=\sqrt{6}$, $C=120^\circ$ のとき、$B$と$A$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b=2$, $c=\sqrt{6}$, $C=120^\circ$ のとき、$B$と$A$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理を使って角Bを求めます。正弦定理は、

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

です。

与えられた値を代入すると、

$\frac{2}{\sin B} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 120^\circ}$

$\sin B = \frac{2 \sin 120^\circ}{\sqrt{6}}$

$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$\sin B = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$B = 45^\circ$ または $B = 135^\circ$ です。

しかし、$B=135^\circ$ とすると、$B+C = 135^\circ + 120^\circ = 255^\circ > 180^\circ$ となり、三角形の内角の和が180°を超えるため不適です。

したがって、$B = 45^\circ$ です。

次に、三角形の内角の和は180°であることから、$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 120^\circ = 15^\circ$ です。

3. 最終的な答え

$B=45^\circ$

$A=15^\circ$