三角形ABCにおいて、AB=7, BC=6, CA=5とする。角Aの二等分線とBCとの交点をD、角Bの二等分線とADとの交点をIとする。このとき、BDの長さとAI:IDの比を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=7, BC=6, CA=5とする。角Aの二等分線とBCとの交点をD、角Bの二等分線とADとの交点をIとする。このとき、BDの長さとAI:IDの比を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を利用してBDの長さを求める。角Aの二等分線が辺BCを分ける比は、AB:ACに等しい。すなわち、

$BD:DC = AB:AC = 7:5$

BCの長さは6なので、BDの長さは

$BD = \frac{7}{7+5} \times BC = \frac{7}{12} \times 6 = \frac{7}{2} = 3.5$

次に、AI:IDを求める。角Bの二等分線BIについて、角の二等分線の性質より、三角形ABDにおいて、

$AI:ID = BA:BD = 7:3.5 = 7:\frac{7}{2} = 2:1$

3. 最終的な答え

BD = 3.5

AI : ID = 2 : 1