(1) 正弦の和に関する公式 $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ が成り立つことを証明する。 (2) 三角形ABCにおいて、$A = \frac{\pi}{3}$のとき、$\sin B + \sin C$ および $\cos B + \cos C$ のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 正弦の和に関する公式 $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ が成り立つことを証明する。

(2) 三角形ABCにおいて、$A = \frac{\pi}{3}$のとき、$\sin B + \sin C$ および $\cos B + \cos C$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正弦の和の公式の証明

加法定理より、

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

これら2式を足し合わせると

$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin \alpha \cos \beta$

ここで、$\alpha + \beta = x$ , $\alpha - \beta = y$ とおくと、$\alpha = \frac{x + y}{2}$ , $\beta = \frac{x - y}{2}$

したがって、

$\sin x + \sin y = 2\sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}$

$\alpha, \beta$をそれぞれ$x, y$に変更して、公式が導かれた。

(2) $A = \frac{\pi}{3}$ のとき

三角形の内角の和は$\pi$なので、$B + C = \pi - A = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$。

$\sin B + \sin C = 2\sin \frac{B + C}{2} \cos \frac{B - C}{2} = 2\sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{B - C}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \frac{B - C}{2} = \sqrt{3} \cos \frac{B - C}{2}$

$-1 \leq \cos \frac{B - C}{2} \leq 1$ より、$- \frac{\pi}{3} < B, C < \frac{2\pi}{3}$なので、$-\frac{2\pi}{3} < B-C < \frac{2\pi}{3}$

$-\frac{\pi}{3} < \frac{B-C}{2} < \frac{\pi}{3}$

$\frac{1}{2} < \cos\frac{B-C}{2} \le 1$

したがって、$\sin B + \sin C$ の取りうる値の範囲は$\frac{\sqrt{3}}{2} \le \sin B + \sin C \le \sqrt{3}$である。

$\cos B + \cos C = 2\cos \frac{B + C}{2} \cos \frac{B - C}{2} = 2\cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{B - C}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cos \frac{B - C}{2} = \cos \frac{B - C}{2}$

$\frac{1}{2} < \cos\frac{B-C}{2} \le 1$

したがって、$\cos B + \cos C$ の取りうる値の範囲は$\frac{1}{2} < \cos B + \cos C \le 1$である。

3. 最終的な答え

(1) 公式 $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ は成り立つ。

(2) $\sin B + \sin C$ の取りうる値の範囲は$\frac{\sqrt{3}}{2} \le \sin B + \sin C \le \sqrt{3}$

$\cos B + \cos C$ の取りうる値の範囲は$\frac{1}{2} < \cos B + \cos C \le 1$