$|\vec{a}| = 6$, $|\vec{b}| = 3$, $|\vec{c}| = 1$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 9$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ のとき、$|\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}|$ を求めよ。

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = 6$, $|\vec{b}| = 3$, $|\vec{c}| = 1$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 9$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ のとき、$|\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}|$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$|\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}|^2$ を計算します。

$|\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c})$

$= \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} + 2\vec{b} \cdot \vec{c} + 2\vec{c} \cdot \vec{a} + 2\vec{c} \cdot \vec{b} + 4\vec{c} \cdot \vec{c}$

$= |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 4|\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{c}) + 4(\vec{c} \cdot \vec{a})$

与えられた値を代入します。

$= 6^2 + 3^2 + 4(1^2) + 2(9) + 4(0) + 4(0)$

$= 36 + 9 + 4 + 18$

$= 67$

したがって、$|\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}| = \sqrt{67}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{67}$