円 $x^2 + y^2 = r^2$ ($r > 0$)を円①、円 $x^2 + y^2 + 12x - 6y + 41 = 0$ を円②とします。 (1) 円①と円②が内接するときの $r$ の値を求めます。 (2) 円①と円②が外接するときの $r$ の値を求めます。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = r^2$ ($r > 0$)を円①、円 $x^2 + y^2 + 12x - 6y + 41 = 0$ を円②とします。

(1) 円①と円②が内接するときの $r$ の値を求めます。

(2) 円①と円②が外接するときの $r$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、円②の式を標準形に変形します。

$x^2 + 12x + y^2 - 6y + 41 = 0$

$(x^2 + 12x) + (y^2 - 6y) + 41 = 0$

$(x^2 + 12x + 36) + (y^2 - 6y + 9) + 41 - 36 - 9 = 0$

$(x + 6)^2 + (y - 3)^2 - 4 = 0$

$(x + 6)^2 + (y - 3)^2 = 4$

したがって、円②の中心は $(-6, 3)$ で、半径は $2$ です。

円①の中心は $(0, 0)$ で、半径は $r$ です。

(1) 円①と円②が内接する場合、中心間の距離は半径の差の絶対値に等しくなります。

中心間の距離は $\sqrt{(-6 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ です。

内接する条件は $|r - 2| = 3\sqrt{5}$ です。

$r > 0$ より、$r - 2 = 3\sqrt{5}$ または $r - 2 = -3\sqrt{5}$ です。

$r = 2 + 3\sqrt{5}$ または $r = 2 - 3\sqrt{5}$ ですが、$r > 0$ なので、$r = 2 + 3\sqrt{5}$ のみとなります。

(2) 円①と円②が外接する場合、中心間の距離は半径の和に等しくなります。

中心間の距離は $3\sqrt{5}$ です。

外接する条件は $r + 2 = 3\sqrt{5}$ です。

$r = 3\sqrt{5} - 2$ です。

3. 最終的な答え

(1) 内接するとき、$r = 2 + 3\sqrt{5}$

(2) 外接するとき、$r = 3\sqrt{5} - 2$