長方形ABCDにおいて、辺ABの延長上にAC=AEとなる点Eをとる。点Eから対角線ACに垂線をひき、ACとの交点をFとする。また、辺BCと線分EFとの交点をGとし、点BとFを結ぶ。 (1) ∠ACB=36°のとき、∠BGFの大きさを求めよ。 (2) △ABC≡△AFEであることを証明せよ。 (3) AB=6cm, BC=8cm, AC=10cmのとき、 (i) 線分FCの長さを求めよ。 (ii) △BEFの面積を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読んで、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、辺ABの延長上にAC=AEとなる点Eをとる。点Eから対角線ACに垂線をひき、ACとの交点をFとする。また、辺BCと線分EFとの交点をGとし、点BとFを結ぶ。

(1) ∠ACB=36°のとき、∠BGFの大きさを求めよ。

(2) △ABC≡△AFEであることを証明せよ。

(3) AB=6cm, BC=8cm, AC=10cmのとき、

(i) 線分FCの長さを求めよ。

(ii) △BEFの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ∠BGFの大きさを求める。

* 長方形ABCDなので、∠ABC = 90°。

* △ABCにおいて、∠BAC = 90° - ∠ACB = 90° - 36° = 54°。

* △AFEにおいて、AC = AEより、△AFEは二等辺三角形。したがって、∠AEF = ∠AFE = (180° - ∠EAF)/2 = (180° - 54°)/2 = 63°。

* ∠AEFと∠BECは同じ角なので、∠BEC = 63°。

* △BCEにおいて、∠BCE = 90°。∠EBC = 180° - 90° - 63° = 27°。

* ∠BGC = 180° - ∠BCG - ∠GBC = 180° - 90° - 27° = 63°。

* したがって、∠BGF = 180° - 63° - 90° = 126°。

(2) △ABC≡△AFEを証明する。

* 仮定より、∠ABC = ∠AFE = 90°。

* ∠BAC = ∠EAF（共通）。

* AC = AE（仮定）。

* したがって、直角三角形において、斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しいので、△ABC≡△AFE。

(3) 線分FCの長さを求める。

* △ABCは直角三角形なので、三平方の定理より、$AB^2 + BC^2 = AC^2$。

* $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$。

* △AFEにおいて、$AE=AC=10$。

* △ABCと△AFEは合同なので、AF=AB=6cm。

* したがって、FC = AC - AF = 10 - 6 = 4 cm。

(4) △BEFの面積を求める。

* △BEFの面積 = △ABEの面積 - △ABFの面積。

* △ABEの面積 = (1/2) * AB * BE。

* AE = AC = 10cm, AB = 6cmなので、BE = √(AE^2 - AB^2)= √(10^2 - 6^2) = 8cm。

* △ABEの面積 = (1/2) * 6 * 8 = 24 cm^2。

* △ABFの面積 = (1/2) * AB * AF * sin∠BAF。

* AF=6cm, AC=10cm

* $BF = \sqrt{AB^2+AF^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$

* △BEFの面積=△AEFの面積 - △ABFの面積

* $EF=BE=8$

* △AEFの面積=(1/2) * AF * EF = (1/2) * 6* 8 = 24 cm^2

* △ABF=(1/2) * AB *高さ

* △AFEにおいて、$AF=6$, $EF=8$

* △ABE = (1/2)*AB*BE=(1/2)*6*8=24 cm^2

* $\triangle ABC \sim \triangle EFC$

* $\frac{EC}{AC} = \frac{FC}{BC}= \frac{EF}{AB}$

* $EC = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{100} = 10$

* よって $AE = AC=10$

* $FC=4cm$

* $EC=8+6=14cm$

3. 最終的な答え

(1) ∠BGF = 126°

(2) △ABC≡△AFE (証明完了)

(3)

(i) FC = 4 cm

(ii) △BEFの面積 = 16 cm^2