ベクトル $\vec{a} = (2, 1, 3)$ とベクトル $\vec{b} = (-1, 3, 2)$ の両方に直交する単位ベクトルを求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, 1, 3)$ とベクトル $\vec{b} = (-1, 3, 2)$ の両方に直交する単位ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に直交するベクトルを求める。これは外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算することで得られる。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(2) - (3)(3) \\ (3)(-1) - (2)(2) \\ (2)(3) - (1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 9 \\ -3 - 4 \\ 6 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -7 \\ 7 \end{pmatrix}$

次に、得られたベクトルの大きさを計算する。

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-7)^2 + (-7)^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 49 + 49} = \sqrt{3 \cdot 49} = 7\sqrt{3}$

最後に、$\vec{a} \times \vec{b}$ をその大きさで割ることで単位ベクトルを求める。

$\vec{e} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{1}{7\sqrt{3}} \begin{pmatrix} -7 \\ -7 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$

もう一つの解は、得られた単位ベクトルに -1 をかけたものである。

$-\vec{e} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$