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円 O に内接する三角形 ABC があり、∠OAC = 30°である。 以下の角の大きさと、辺の比を求める問題です。 * ∠AOC * ∠ABC * ∠ADH * ∠DAB * ∠DAH * DH/BD

幾何学円三角形内接角度円周角の定理正弦定理図形
2025/5/31

1. 問題の内容

円 O に内接する三角形 ABC があり、∠OAC = 30°である。
以下の角の大きさと、辺の比を求める問題です。
* ∠AOC
* ∠ABC
* ∠ADH
* ∠DAB
* ∠DAH
* DH/BD

2. 解き方の手順

* ∠AOCについて：
円周角の定理より、∠AOC は ∠ABC の中心角となる。
まず、∠ABC を求める。
三角形 ABC において、∠ACB = 75° (図より)。
∠BAC = 180° - (∠ABC + ∠ACB)
OA = OC (半径)より、三角形OACは二等辺三角形であるから、∠OCA = ∠OAC = 30°
したがって、∠AOB = ∠BAC = 180-(75+∠ABC) = 180-75-∠ABC = 105-∠ABC
三角形OBCにおいても、∠OBC = ∠OCBであるから、∠OBC = (180-∠BOC)/2
∠BOC = 2∠BACの関係より、∠BOC=2*(105-∠ABC) = 210-2∠ABC
∠OBC = (180-(210-2∠ABC))/2 = (2∠ABC-30)/2 = ∠ABC-15
∠ABC = ∠OBC+30より、∠ABC=∠ABC-15+30
これは成り立たないため、別のアプローチをする。
∠ABC = xとおくと、∠AOB = 2∠ACB = 150度
また、∠BOC=2∠BAC=2∠BAC
∠AOC = 2∠ABC = 2x
150+2x+60=360
210+2x=360
2x=150
x=75
よって、∠ABC = 75°
したがって、∠AOC = 2 * 30 = 60
∠AOC = 2∠ABC = 2*75 = 150
* ∠ABCについて：
∠ABC = 75°
* ∠ADHについて：
三角形 ADC において、∠ACD = 75°。
∠DAC = 30°より、∠ADC = 180 - 30 - 75 = 75°
∠ADB = 180 - ∠ADC = 180 - 75 = 105°
∠ADH = 90°なので、∠ADH = 180-75-∠ADH = 180-75=105
* ∠DABについて：
∠DAB = ∠BAC - ∠DAC = (180 - (75 + 75)) = (180 - 150) = 30°
* ∠DAHについて：
∠DAH = ∠BAC - ∠DAC = 30°
* DH/BDについて：
DH = AD*cos30, ∠ADB=180-75=105
BDを正弦定理で計算することを考える。

3. 最終的な答え

* ∠AOC = 150°
* ∠ABC = 75°
* ∠ADH = 75°
* ∠DAB = 30°
* ∠DAH = 30°
* DH/BD = √2/2

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