平行四辺形ABCDにおいて、$AB=3$, $AD=2$, $\angle BAD = \frac{\pi}{3}$のとき、以下の問いに答える。 (1) $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}$を求めよ。 (2) 対角線ACの長さを求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、$AB=3$, $AD=2$, $\angle BAD = \frac{\pi}{3}$のとき、以下の問いに答える。

(1) $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}$を求めよ。

(2) 対角線ACの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 内積の定義を用いる。

$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = |AD||AB| \cos{\angle DAB}$

$|AD| = 2$, $|AB| = 3$, $\angle DAB = \frac{\pi}{3}$より、

$\cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}$

したがって、

$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3$

(2) $\overrightarrow{AC}$を$\overrightarrow{AD}$と$\overrightarrow{AB}$で表す。

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}$

$|\overrightarrow{AC}|^2 = (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}) \cdot (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB})$

$|\overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{AD}|^2 + 2 \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} + |\overrightarrow{AB}|^2$

$|\overrightarrow{AD}|^2 = 2^2 = 4$

$|\overrightarrow{AB}|^2 = 3^2 = 9$

$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 3$ （(1)より）

$|\overrightarrow{AC}|^2 = 4 + 2(3) + 9 = 4 + 6 + 9 = 19$

したがって、$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{19}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 3$

(2) 対角線ACの長さは$\sqrt{19}$