2つの直線がなす鋭角を求める問題です。 (1) $y = \sqrt{3}x$ と $y=x$ のなす角 (2) $y = -x$ と $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ のなす角

1. 問題の内容

2つの直線がなす鋭角を求める問題です。

(1) $y = \sqrt{3}x$ と $y=x$ のなす角

(2) $y = -x$ と $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ のなす角

2. 解き方の手順

直線の傾きからtanの値がわかるので、それを用いて角度を計算します。

(1)

$y = \sqrt{3}x$ の傾きは$\sqrt{3}$なので、この直線とx軸の正の向きとのなす角を$\theta_1$とすると、

$tan\theta_1 = \sqrt{3}$ よって、$\theta_1 = \frac{\pi}{3}$

$y = x$の傾きは1なので、この直線とx軸の正の向きとのなす角を$\theta_2$とすると、

$tan\theta_2 = 1$ よって、$\theta_2 = \frac{\pi}{4}$

2直線のなす角$\theta$は、

$\theta = |\theta_1 - \theta_2| = |\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}| = |\frac{4\pi - 3\pi}{12}| = \frac{\pi}{12}$

(2)

$y = -x$ の傾きは$-1$なので、この直線とx軸の正の向きとのなす角を$\theta_3$とすると、

$tan\theta_3 = -1$ よって、$\theta_3 = \frac{3\pi}{4}$

$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$の傾きは$\frac{1}{\sqrt{3}}$なので、この直線とx軸の正の向きとのなす角を$\theta_4$とすると、

$tan\theta_4 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ よって、$\theta_4 = \frac{\pi}{6}$

2直線のなす角$\theta$は、

$\theta = |\theta_3 - \theta_4| = |\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6}| = |\frac{9\pi - 2\pi}{12}| = \frac{7\pi}{12}$

ただし、鋭角を求めるので、$\pi - \frac{7\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{12}$

(2) $\frac{5\pi}{12}$