座標平面上に2点A(1, 3), B(3, 7)があり、直線 $l: y = 2x - 4$ がある。 (1) 直線 $l$ に関して点Aと対称な点Cの座標を求める。 (2) 直線BCの方程式を求める。 (3) 点Pが直線 $l$ 上を動くとき、AP + PBの最小値を求める。また、そのときの点Pの座標と△APBの面積Sを求める。

1. 問題の内容

座標平面上に2点A(1, 3), B(3, 7)があり、直線 $l: y = 2x - 4$ がある。

(1) 直線 $l$ に関して点Aと対称な点Cの座標を求める。

(2) 直線BCの方程式を求める。

(3) 点Pが直線 $l$ 上を動くとき、AP + PBの最小値を求める。また、そのときの点Pの座標と△APBの面積Sを求める。

2. 解き方の手順

(1) 点A(1, 3)と直線 $l: y = 2x - 4$ に関して対称な点C(x, y)を求める。

AとCの中点をMとする。Mは直線 $l$ 上にある。Mの座標は $\left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+3}{2}\right)$。

$\frac{y+3}{2} = 2\left(\frac{x+1}{2}\right) - 4$

$y + 3 = 2(x + 1) - 8$

$y + 3 = 2x + 2 - 8$

$y = 2x - 9$ ...(1)

直線ACは直線 $l$ と直交する。直線ACの傾きは $\frac{y-3}{x-1}$。

直線 $l$ の傾きは2なので、$\frac{y-3}{x-1} \times 2 = -1$

$2(y-3) = -x + 1$

$2y - 6 = -x + 1$

$2y = -x + 7$ ...(2)

(1)と(2)を連立させて解く。

$2(2x - 9) = -x + 7$

$4x - 18 = -x + 7$

$5x = 25$

$x = 5$

$y = 2(5) - 9 = 10 - 9 = 1$

よって、C(5, 1)

(2) B(3, 7), C(5, 1)を通る直線の方程式を求める。

傾きは $\frac{1-7}{5-3} = \frac{-6}{2} = -3$

$y - 7 = -3(x - 3)$

$y - 7 = -3x + 9$

$y = -3x + 16$

(3) AP + PBの最小値は、CとBを結んだ線分CBの長さである。点Pは直線CBと直線 $l$ の交点である。

$l: y = 2x - 4$

CB: $y = -3x + 16$

$2x - 4 = -3x + 16$

$5x = 20$

$x = 4$

$y = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4$

よって、P(4, 4)

CBの長さは $\sqrt{(5-3)^2 + (1-7)^2} = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

AP + PBの最小値は $2\sqrt{10}$

△APBの面積Sを求める。

A(1, 3), B(3, 7), P(4, 4)

$S = \frac{1}{2} |(1(7-4) + 3(4-3) + 4(3-7))| = \frac{1}{2} |(3 + 3 - 16)| = \frac{1}{2} |-10| = 5$

3. 最終的な答え

(1) C(5, 1)

(2) $y = -3x + 16$

(3) AP + PBの最小値: $2\sqrt{10}$

点Pの座標: (4, 4)

△APBの面積S: 5