$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$ であり、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、以下の値を求めよ。 (1) $\sin(180^\circ - \theta)$ (2) $\cos(180^\circ - \theta)$ (3) $\tan(180^\circ - \theta)$

1. 問題の内容

$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$ であり、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、以下の値を求めよ。

(1) $\sin(180^\circ - \theta)$

(2) $\cos(180^\circ - \theta)$

(3) $\tan(180^\circ - \theta)$

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて $\cos \theta$ を求める。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

したがって、$\cos \theta = \pm \frac{2}{3}$ 。$90^\circ < \theta < 180^\circ$ であるから、$\cos \theta < 0$ なので、$\cos \theta = -\frac{2}{3}$。

次に、$\tan \theta$ を求める。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$

(1) $\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

(2) $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta = -\left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3}$

(3) $\tan(180^\circ - \theta) = -\tan \theta = -\left(-\frac{\sqrt{5}}{2}\right) = \frac{\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin(180^\circ - \theta) = \frac{\sqrt{5}}{3}$

(2) $\cos(180^\circ - \theta) = \frac{2}{3}$

(3) $\tan(180^\circ - \theta) = \frac{\sqrt{5}}{2}$