$\triangle OAB$において、辺$OA$を$2:3$に内分する点を$C$、辺$OB$を$2:1$に内分する点を$D$とします。$AD$と$BC$の交点を$P$とするとき、$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$で表してください。ただし、$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$です。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$において、辺$OA$を$2:3$に内分する点を$C$、辺$OB$を$2:1$に内分する点を$D$とします。$AD$と$BC$の交点を$P$とするとき、$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$で表してください。ただし、$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$です。

2. 解き方の手順

まず、$C$と$D$のそれぞれの位置ベクトルを求めます。

$C$は$OA$を$2:3$に内分するので、

$\overrightarrow{OC} = \frac{2}{5}\overrightarrow{OA} = \frac{2}{5}\overrightarrow{a}$

$D$は$OB$を$2:1$に内分するので、

$\overrightarrow{OD} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{b}$

次に、点$P$が直線$AD$上にあることから、実数$s$を用いて

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OD} = (1-s)\overrightarrow{a} + s\frac{2}{3}\overrightarrow{b} = (1-s)\overrightarrow{a} + \frac{2s}{3}\overrightarrow{b}$

同様に、点$P$が直線$BC$上にあることから、実数$t$を用いて

$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC} = (1-t)\overrightarrow{b} + t\frac{2}{5}\overrightarrow{a} = \frac{2t}{5}\overrightarrow{a} + (1-t)\overrightarrow{b}$

したがって、

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{a} + \frac{2s}{3}\overrightarrow{b} = \frac{2t}{5}\overrightarrow{a} + (1-t)\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は一次独立なので、係数を比較して

$1-s = \frac{2t}{5}$

$\frac{2s}{3} = 1-t$

これらの式を解いて、$s$と$t$の値を求めます。

まず、一つ目の式から$t = \frac{5}{2}(1-s)$を得ます。

これを二つ目の式に代入すると、

$\frac{2s}{3} = 1 - \frac{5}{2}(1-s)$

$\frac{2s}{3} = 1 - \frac{5}{2} + \frac{5}{2}s$

$\frac{2s}{3} - \frac{5s}{2} = -\frac{3}{2}$

$\frac{4s - 15s}{6} = -\frac{3}{2}$

$-\frac{11s}{6} = -\frac{9}{6}$

$11s = 9$

$s = \frac{9}{11}$

これを$t$の式に代入すると、

$t = \frac{5}{2}(1-\frac{9}{11}) = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{11} = \frac{5}{11}$

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{a} + \frac{2s}{3}\overrightarrow{b}$に$s = \frac{9}{11}$を代入すると

$\overrightarrow{OP} = (1-\frac{9}{11})\overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{11}\overrightarrow{b} = \frac{2}{11}\overrightarrow{a} + \frac{6}{11}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{2t}{5}\overrightarrow{a} + (1-t)\overrightarrow{b}$に$t = \frac{5}{11}$を代入すると

$\overrightarrow{OP} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{11}\overrightarrow{a} + (1-\frac{5}{11})\overrightarrow{b} = \frac{2}{11}\overrightarrow{a} + \frac{6}{11}\overrightarrow{b}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OP} = \frac{2}{11}\overrightarrow{a} + \frac{6}{11}\overrightarrow{b}$