$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$

## 問題の解答

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1. 問題の内容

画像にある以下の問題を解きます。

* ベクトル $\vec{a} = (2, 1)$ と $\vec{b} = (1, 3)$ について:

1. $|\vec{a}|$ を求めよ。

2. $|\vec{a}| + |\vec{b}|$ を求めよ。

3. $|\vec{a} + \vec{b}|$ を求めよ。

4. $|3\vec{a} + 2\vec{b}|$ を求めよ。

5. $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。

6. $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を求めよ (単位はラジアン)。

* ベクトル $\vec{a} = (\frac{1}{2}, k)$ と $\vec{b} = (-4, k-1)$ について:

1. $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直になるような実数 $k$ の値を求めよ。

2. $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行になるような実数 $k$ の値を求めよ。

3. $\vec{a}$ が単位ベクトルになるような実数 $k$ の値を求めよ。

* 2点 A(-1, 2), B(3, 4) について:

1. $\vec{AB}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ を用いて表せ。

2. $\vec{AB}$ の成分を求めよ。

3. 線分 AB を 2:3 の比に内分する点 P の位置ベクトル $\vec{OP}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ を用いて表せ。

4. 線分 AB を 2:3 の比に内分する点 P の座標を求めよ。

* 平行四辺形 ABCD において、AB=3、AD=2、$\angle BAD = \frac{\pi}{3}$ のとき:

1. $\vec{AD} \cdot \vec{AB}$ を求めよ。

2. 対角線 AC の長さを求めよ。

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2. 解き方の手順

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2. ベクトル a = (2, 1) と b = (1, 3) について**

1. $|\vec{a}|$ を求める。

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$

2. $|\vec{a}| + |\vec{b}|$ を求める。

$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$

$|\vec{a}| + |\vec{b}| = \sqrt{5} + \sqrt{10}$

3. $|\vec{a} + \vec{b}|$ を求める。

$\vec{a} + \vec{b} = (2+1, 1+3) = (3, 4)$

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

4. $|3\vec{a} + 2\vec{b}|$ を求める。

$3\vec{a} = (6, 3)$

$2\vec{b} = (2, 6)$

$3\vec{a} + 2\vec{b} = (6+2, 3+6) = (8, 9)$

$|3\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{8^2 + 9^2} = \sqrt{64 + 81} = \sqrt{145}$

5. $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (1)(3) = 2 + 3 = 5$

6. $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta = \arccos(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4}$

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3. ベクトル a = (1/2, k) と b = (-4, k-1) について**

1. $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直になる条件は $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$。

$(\frac{1}{2})(-4) + (k)(k-1) = 0$

$-2 + k^2 - k = 0$

$k^2 - k - 2 = 0$

$(k-2)(k+1) = 0$

$k = 2, -1$

2. $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行になる条件は $\vec{a} = c\vec{b}$ となる実数 $c$ が存在すること。

$\frac{1}{2} = -4c$ より $c = -\frac{1}{8}$

$k = c(k-1)$

$k = -\frac{1}{8}(k-1)$

$8k = -k + 1$

$9k = 1$

$k = \frac{1}{9}$

3. $\vec{a}$ が単位ベクトルになる条件は $|\vec{a}| = 1$。

$\sqrt{(\frac{1}{2})^2 + k^2} = 1$

$\frac{1}{4} + k^2 = 1$

$k^2 = \frac{3}{4}$

$k = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

**

4. 2点 A(-1, 2), B(3, 4) について**

1. $\vec{AB}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ を用いて表す。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

2. $\vec{AB}$ の成分を求める。

$\vec{AB} = (3 - (-1), 4 - 2) = (4, 2)$

3. 線分 AB を 2:3 の比に内分する点 P の位置ベクトル $\vec{OP}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ を用いて表す。

$\vec{OP} = \frac{3\vec{OB} + 2\vec{OA}}{2+3} = \frac{3\vec{OB} + 2\vec{OA}}{5} = \frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$

4. 線分 AB を 2:3 の比に内分する点 P の座標を求める。

$\vec{OP} = \frac{2}{5}(-1, 2) + \frac{3}{5}(3, 4) = (-\frac{2}{5}, \frac{4}{5}) + (\frac{9}{5}, \frac{12}{5}) = (\frac{7}{5}, \frac{16}{5})$

Pの座標は $(\frac{7}{5}, \frac{16}{5})$

**

5. 平行四辺形 ABCD において、AB=3、AD=2、$\angle BAD = \frac{\pi}{3}$ のとき**

1. $\vec{AD} \cdot \vec{AB}$ を求める。

$\vec{AD} \cdot \vec{AB} = |\vec{AD}||\vec{AB}|\cos{\frac{\pi}{3}} = (2)(3)(\frac{1}{2}) = 3$

2. 対角線 AC の長さを求める。

$|\vec{AC}|^2 = |\vec{AB} + \vec{AD}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{AD}|^2 + 2\vec{AB} \cdot \vec{AD}$

$|\vec{AC}|^2 = 3^2 + 2^2 + 2(3) = 9 + 4 + 6 = 19$

$|\vec{AC}| = \sqrt{19}$

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3. 最終的な答え

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2. ベクトル a = (2, 1) と b = (1, 3) について**

1. $|\vec{a}| = \sqrt{5}$

2. $|\vec{a}| + |\vec{b}| = \sqrt{5} + \sqrt{10}$

3. $|\vec{a} + \vec{b}| = 5$

4. $|3\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{145}$

5. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$

6. $\theta = \frac{\pi}{4}$

**

3. ベクトル a = (1/2, k) と b = (-4, k-1) について**

1. $k = 2, -1$

2. $k = \frac{1}{9}$

3. $k = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

**

4. 2点 A(-1, 2), B(3, 4) について**

1. $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

2. $\vec{AB} = (4, 2)$

3. $\vec{OP} = \frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$

4. $(\frac{7}{5}, \frac{16}{5})$

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5. 平行四辺形 ABCD において、AB=3、AD=2、$\angle BAD = \frac{\pi}{3}$ のとき**

1. $\vec{AD} \cdot \vec{AB} = 3$

2. $|\vec{AC}| = \sqrt{19}$