$xyz$空間において、立体$S: x^2 - y^2 + z = 0$を平面$z=2$で切った切り口の双曲線の焦点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

$xyz$空間において、立体$S: x^2 - y^2 + z = 0$を平面$z=2$で切った切り口の双曲線の焦点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

立体$S: x^2 - y^2 + z = 0$を平面$z = 2$で切った切り口の方程式は、$z=2$を$S$の方程式に代入することで得られます。

$x^2 - y^2 + 2 = 0$

これを整理すると、

$x^2 - y^2 = -2$

両辺を$-2$で割ると、

$-\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} = 1$

つまり、

$\frac{y^2}{2} - \frac{x^2}{2} = 1$

これは、双曲線の方程式であり、$y$軸方向に開いた双曲線です。

一般に、双曲線$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$の焦点の座標は$(0, \pm c)$で、$c = \sqrt{a^2 + b^2}$です。

この問題の場合、$a^2 = 2$, $b^2 = 2$なので、$c = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$となります。

したがって、焦点の座標は$(0, \pm 2)$です。

平面$z=2$で切っているので、$z$座標は常に2です。

よって、焦点の座標は$(0, 2, 2)$と$(0, -2, 2)$になります。

3. 最終的な答え

$(0, 2, 2)$, $(0, -2, 2)$