円に内接する三角形ABCがあり、円の中心をOとする。$\angle ACB = 75^\circ$, $\angle OAC = 30^\circ$のとき、$\angle AOC$, $\angle ABC$, $\angle ADH$, $\angle DAB$, $\angle DAH$ を求め、$\frac{DH}{BD}$ を求める。

1. 問題の内容

円に内接する三角形ABCがあり、円の中心をOとする。$\angle ACB = 75^\circ$, $\angle OAC = 30^\circ$のとき、$\angle AOC$, $\angle ABC$, $\angle ADH$, $\angle DAB$, $\angle DAH$ を求め、$\frac{DH}{BD}$ を求める。

2. 解き方の手順

* $\angle AOC$ を求める。

$\triangle OAC$ は $OA = OC$ の二等辺三角形なので、$\angle OCA = \angle OAC = 30^\circ$

したがって、$\angle AOC = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$

* $\angle ABC$ を求める。

円周角の定理より、$\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$

* $\angle ADH$ を求める。

$AD$ は $\angle BAC$ の二等分線である。なぜなら，$OA = OC$ より $\angle OCA = \angle OAC = 30^\circ$。よって $\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 60^\circ - 75^\circ = 45^\circ$.

$\angle BAD = \frac{1}{2} \angle BAO + \frac{1}{2} \angle CAO = \angle DAO = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{45}{2} = 22.5^\circ$

$\angle ADH = 180^\circ - (\angle DAH + \angle AHD) = 180^\circ - (\angle ADB + \angle DAB) = 180^\circ - (\angle ACB + \angle DAB) = 75^\circ$

$\triangle ABD$ において, $\angle ADB = 180^\circ - \angle DAB - \angle ABD$ なので, $\angle ADB = 180^\circ - \angle DAB - \angle ABC = 180^\circ - \angle DAB - 60^\circ = 120^\circ - \angle DAB$.

また, $\angle ADB + \angle ADC = 180^\circ$ なので, $\angle ADC = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - (120^\circ - \angle DAB) = 60^\circ + \angle DAB$

したがって, $\angle ADH = 90^\circ$なので、$\angle ADH = 90 + 45/2 = 112.5$

$\angle ADH = 90^\circ + (30^\circ - 15^\circ) = 105^\circ$, よって$\angle ADH = 90$となる．

$\angle ADB = 180^\circ - (\angle ABC + \angle BAD) = 180^\circ - (60^\circ + \angle BAD) = 120^\circ - \angle BAD$. $\angle ADB = 180^\circ - (\angle BAC) / 2$.

よって $\angle ADH = 90 + \frac{\angle CAO + \angle BAO}{2} - \angle BAO$.

$\triangle ABH$で$\angle AHB = 90^{\circ}$より, $\angle HAB = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$であり、$\angle CAH = 75^{\circ} - 90^\circ$．

$\angle ADB + \angle ADH = 180^\circ, \angle ADB = 75^\circ + \angle CAD, \angle ACD = 75^\circ$なので

$\angle DAH + \angle ADH + 90 = 180$.

$\angle DAH = 90 - 15$.

$\angle ADH = 90^\circ$

したがって $\angle ADH = 90^\circ$

* $\angle DAB$ を求める。

$\angle BAC = 180^\circ - 60^\circ - 75^\circ = 45^\circ$.

$\angle BAO = 30^\circ$. よって、$\angle DAB = |\angle BAO - \angle DAO|$.

$\triangle OAB$で$OA = OB$なので, $\angle OBA = \angle OAB$. $\angle AOB = 2 \angle ACB = 150^\circ$. $\angle OAB = (180 - 150) / 2 = 15^\circ$.

$\angle DAB = 30 - 15 = 15$.

* $\angle DAH$ を求める。

$\angle BAH = 30$. よって $45^\circ$.$\angle CAH=15^\circ$.

$\angle DAH = 45 - 30 = 15^\circ$

* $\frac{DH}{BD}$を求める。

$\tan \angle DAB = \frac{DH}{AD}$. $\frac{DH}{BD}$.

3. 最終的な答え

$\angle AOC = 120^\circ$

$\angle ABC = 60^\circ$

$\angle ADH = 90^\circ$

$\angle DAB = 15^\circ$

$\angle DAH = 15^\circ$

$\frac{DH}{BD} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$