放物線 $y = ax^2$ 上に点 $A(2, 2)$ がある。$\angle OAB = 90^\circ$ となる点 $B$ を $y$ 軸上に取る。さらに、$\angle ABC = \angle BCD = 90^\circ$ となるように点 $C$ を放物線上に、点 $D$ を $y$ 軸上に取る。直線 $y = mx$ が線分 $BC$, $CD$ とそれぞれ点 $P$, $Q$ で交わっている。$\triangle ODQ$ の面積が $\triangle OBP$ の $m$ 倍となるような $m$ を求め、その表現形式を選ぶ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2$ 上に点 $A(2, 2)$ がある。$\angle OAB = 90^\circ$ となる点 $B$ を $y$ 軸上に取る。さらに、$\angle ABC = \angle BCD = 90^\circ$ となるように点 $C$ を放物線上に、点 $D$ を $y$ 軸上に取る。直線 $y = mx$ が線分 $BC$, $CD$ とそれぞれ点 $P$, $Q$ で交わっている。$\triangle ODQ$ の面積が $\triangle OBP$ の $m$ 倍となるような $m$ を求め、その表現形式を選ぶ。

2. 解き方の手順

* **ア**: 点 $A(2, 2)$ が $y = ax^2$ 上にあるので、$2 = a(2^2)$。よって、$a = \frac{1}{2}$。

* **ウ**: $\angle OAB = 90^\circ$ であり、$A(2, 2)$ なので、$OA$ の傾きは $1$。したがって、$AB$ の傾きは $-1$。$B$ の座標を $(0, b)$ とすると、$AB$ の傾きは $\frac{2-b}{2-0} = \frac{2-b}{2}$。これが $-1$ に等しいので、$2-b = -2$。よって、$b = 4$。したがって、$B(0, 4)$。

* **エ, イ**: $C$ の $x$ 座標を $t$ とすると、$C$ の $y$ 座標は $\frac{1}{2}t^2$。よって、$C(t, \frac{1}{2}t^2)$。$BC$ の傾きは $\frac{\frac{1}{2}t^2 - 4}{t - 0} = \frac{t^2 - 8}{2t}$。$AB$ の傾きは $-1$ なので、$BC$ の傾きは $1$。よって、$\frac{t^2 - 8}{2t} = 1$ より、$t^2 - 2t - 8 = 0$。$(t - 4)(t + 2) = 0$。$t > 0$ より、$t = 4$。したがって、$C(4, 8)$。

* **オカ**: $D$ は $y$ 軸上の点であり、$CD$ と $BC$ は直交するので、$CD$ の傾きは $-1$。$D(0, d)$ とすると、$CD$ の傾きは $\frac{8 - d}{4 - 0} = \frac{8 - d}{4}$。これが $-1$ に等しいので、$8 - d = -4$。よって、$d = 12$。したがって、$D(0, 12)$。

* **キ**: 直線 $l$ は $y=mx$。点Pは直線BC上にある。直線BCの方程式は$y-4=1(x-0)$より$y=x+4$。よって、Pの座標は、$mx=x+4$より、$x=\frac{4}{m-1}$。したがって、Pのx座標は$\frac{4}{m-1}$。

* **ケコ**: 点Qは直線CD上にある。直線CDの方程式は$y-12=-1(x-0)$より$y=-x+12$。よって、Qの座標は、$mx=-x+12$より、$x=\frac{12}{m+1}$。したがって、Qのx座標は$\frac{12}{m+1}$。

* **サ**: Qのx座標はm+サなので、$\frac{12}{m+1}$ = m + サ。つまりサ = $\frac{12}{m+1} - m = \frac{12-m(m+1)}{m+1} = \frac{-m^2-m+12}{m+1}$

* $\triangle ODQ = m \cdot \triangle OBP$ より、$\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{12}{m+1} = m \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{4}{m-1}$。つまり、$\frac{12 \cdot 12}{m+1} = \frac{16m}{m-1}$。 $144(m-1) = 16m(m+1)$。 $9(m-1) = m(m+1)$。 $9m-9=m^2+m$。 $m^2 - 8m + 9 = 0$。

* **シ**: $m^2 - 8m + 9 = 0$ を $m^2 - \text{シ}m + \text{ス} = 0$ と比較すると、シ = 8、ス = 9。

* **セ**: $m^2 - 8m + 9 = (m - 4)^2 - 16 + 9 = (m-4)^2 - 7 = 0$ より、$(m-4)^2 = 7$。

* **タ**: $(m-4)^2 = 7$ より、$m = 4 \pm \sqrt{7}$。つまり、$m = p \pm \sqrt{q}$ の形で表される。

* **チ**: $m = 4 \pm \sqrt{7}$ より、$p = 4$。

* **ツ**: $m = 4 \pm \sqrt{7}$ より、$q = 7$。

3. 最終的な答え

ア: $\frac{1}{2}$

ウ: $4$

エ: $4$

オカ: $12$

キ: $\frac{4}{m-1}$

ケコ: $\frac{12}{m+1}$

サ: $\frac{-m^2-m+12}{m+1}$

シ: $8$

ス: $9$

セ: $4$

ソ: $7$

タ: ②

チ: $4$

ツ: $7$