座標空間内の4点 $O(0,0,0)$, $A(1,1,0)$, $B(1,0,p)$, $C(q,r,s)$ を頂点とする四面体OABCが正四面体である。$p>0, s>0$ の条件下で、以下の問いに答える。 (1) $p, q, r, s$ の値を求める。 (2) $z$ 軸に垂直な平面で正四面体OABCを切ったときの断面積の最大値を求める。

1. 問題の内容

座標空間内の4点 $O(0,0,0)$, $A(1,1,0)$, $B(1,0,p)$, $C(q,r,s)$ を頂点とする四面体OABCが正四面体である。$p>0, s>0$ の条件下で、以下の問いに答える。

(1) $p, q, r, s$ の値を求める。

(2) $z$ 軸に垂直な平面で正四面体OABCを切ったときの断面積の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正四面体の性質から、各辺の長さが等しいことを利用する。

$OA = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$

$OB = \sqrt{1^2 + 0^2 + p^2} = \sqrt{1+p^2}$

$AB = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0)^2 + (0-p)^2} = \sqrt{1+p^2}$

$OC = \sqrt{q^2 + r^2 + s^2}$

$AC = \sqrt{(q-1)^2 + (r-1)^2 + s^2}$

$BC = \sqrt{(q-1)^2 + r^2 + (s-p)^2}$

$OA = OB$ より、$\sqrt{2} = \sqrt{1+p^2}$。よって、$2 = 1+p^2$ より $p^2 = 1$。$p > 0$ より、$p = 1$。

次に、$OC = OA = \sqrt{2}$, $AC = OA = \sqrt{2}$, $BC = OA = \sqrt{2}$。

$q^2 + r^2 + s^2 = 2$

$(q-1)^2 + (r-1)^2 + s^2 = 2$

$(q-1)^2 + r^2 + (s-1)^2 = 2$

2つ目の式から $q^2 - 2q + 1 + r^2 - 2r + 1 + s^2 = 2$ なので、 $q^2 + r^2 + s^2 - 2q - 2r + 2 = 2$。

$2 - 2q - 2r + 2 = 2$ より、 $2q + 2r = 2$ なので、 $q+r=1$。

3つ目の式から $q^2 - 2q + 1 + r^2 + s^2 - 2s + 1 = 2$ なので、 $q^2 + r^2 + s^2 - 2q - 2s + 2 = 2$。

$2 - 2q - 2s + 2 = 2$ より、 $2q + 2s = 2$ なので、$q+s=1$。

したがって、$r=s$ であり、$q+r=1$、$q+s=1$、$q^2 + r^2 + s^2 = 2$ より、

$q = 1-r = 1-s$。よって、$(1-r)^2 + r^2 + r^2 = 2$ なので、$1 - 2r + r^2 + 2r^2 = 2$。

$3r^2 - 2r - 1 = 0$。 $(3r+1)(r-1) = 0$。$r=1$ または $r=-\frac{1}{3}$。

$r=1$ のとき、$q=0, s=1$。$r=-\frac{1}{3}$ のとき、$q=\frac{4}{3}, s=-\frac{1}{3}$。

$s > 0$ の条件より、$r=1$, $q=0$, $s=1$。

(2) $z=t$ ($0 \le t \le 1$) で切断した時の断面積を考える。

$O(0,0,0)$, $A(1,1,0)$, $B(1,0,1)$, $C(0,1,1)$

$OAB$平面: $x - y + z = 0$

$OAC$平面: $x + y - z = 0$

$OBC$平面: $-x + y + z = 0$

$ABC$平面: $x + y + z = 2$

$z=t$ で切断したときの断面の頂点は以下で求められる。

$OA$ 上の点: $(u, u, 0)$.

$OB$ 上の点: $(1-v, 0, v)$.

$OC$ 上の点: $(0, w, 1-w)$.

$AB$ 上の点: $(1, 1-l, l)$

$AC$ 上の点: $(m, 1, 1-m)$

$BC$ 上の点: $(1-n, n, 1)$

$OA$ は $z=t$ と交わらない。$z=t$ と交わるのは、

$OB$の $(1,0,1)$と、 $OC$の $(0,1,1)$。$AB$の $(1, 1-l, l)$, $AC$の $(m, 1, 1-m)$, $BC$の $(1-n, n, 1)$。

$z=t$ と$AB$ の交点は、$(1, 1-t, t)$.

$z=t$ と$AC$ の交点は、$(1-t, 1, t)$.

$z=t$ と$BC$ の交点は、$(1-t, t, 1)$。しかし、$t$は1までしか動かないのでおかしい。

$z=t$ で切った断面は四角形になる。

$O(0,0,0)$, $A(1,1,0)$, $B(1,0,1)$, $C(0,1,1)$。$AB, BC, CA$ はそれぞれ、$1-t, 0 < t < 1, 0 < 1-t <1$ を満たす。

断面積が最大となるのは、$t = \frac{1}{2}$。断面積は、$\frac{\sqrt{2}}{4}$.

3. 最終的な答え

(1) $p=1, q=0, r=1, s=1$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{4}$