空間内に2つの直線 $l_1$ と $l_2$ がある。 $l_1: (x, y, z) = (2, 3, 1) + s(2, 1, 1)$ $l_2: (x, y, z) = (1, -1, 3) + t(3, 1, -1)$ ただし、$s$ と $t$ は実数である。 直線 $l_1$ 上を動く点をP、直線 $l_2$ 上を動く点をQとするとき、線分PQの長さの最小値を求める。

1. 問題の内容

空間内に2つの直線 $l_1$ と $l_2$ がある。

$l_1: (x, y, z) = (2, 3, 1) + s(2, 1, 1)$

$l_2: (x, y, z) = (1, -1, 3) + t(3, 1, -1)$

ただし、$s$ と $t$ は実数である。

直線 $l_1$ 上を動く点をP、直線 $l_2$ 上を動く点をQとするとき、線分PQの長さの最小値を求める。

2. 解き方の手順

点P, Qの座標はそれぞれ次のように表せる。

$P = (2 + 2s, 3 + s, 1 + s)$

$Q = (1 + 3t, -1 + t, 3 - t)$

線分PQの長さの二乗を $f(s, t)$ とすると、

$f(s, t) = (2 + 2s - (1 + 3t))^2 + (3 + s - (-1 + t))^2 + (1 + s - (3 - t))^2$

$f(s, t) = (1 + 2s - 3t)^2 + (4 + s - t)^2 + (-2 + s + t)^2$

$f(s, t) = (1 + 4s^2 + 9t^2 + 4s - 6t - 12st) + (16 + s^2 + t^2 + 8s - 2t - 2st) + (4 + s^2 + t^2 - 4s + 2t - 2st)$

$f(s, t) = 6s^2 + 11t^2 - 16st + 8s - 6t + 21$

$f(s, t)$ を最小にする $s$ と $t$ を求めるために、偏微分して0とおく。

$\frac{\partial f}{\partial s} = 12s - 16t + 8 = 0$

$\frac{\partial f}{\partial t} = 22t - 16s - 6 = 0$

整理すると、

$3s - 4t + 2 = 0$

$-8s + 11t - 3 = 0$

上の式を8倍、下の式を3倍して足すと、

$24s - 32t + 16 + (-24s + 33t - 9) = 0$

$t + 7 = 0$

$t = -7$

$3s - 4(-7) + 2 = 0$

$3s + 28 + 2 = 0$

$3s = -30$

$s = -10$

$s = -10, t = -7$ のとき、

$P = (2 + 2(-10), 3 + (-10), 1 + (-10)) = (-18, -7, -9)$

$Q = (1 + 3(-7), -1 + (-7), 3 - (-7)) = (-20, -8, 10)$

$PQ^2 = (-18 - (-20))^2 + (-7 - (-8))^2 + (-9 - 10)^2$

$PQ^2 = (2)^2 + (1)^2 + (-19)^2 = 4 + 1 + 361 = 366$

$PQ = \sqrt{366} = \sqrt{6 \cdot 61}$

計算ミスの可能性があるので、連立方程式を解き直す。

$3s - 4t = -2$

$-8s + 11t = 3$

上の式を8倍、下の式を3倍して足すと、

$24s - 32t = -16$

$-24s + 33t = 9$

$t = -7$

$3s - 4(-7) = -2$

$3s + 28 = -2$

$3s = -30$

$s = -10$

やはり $s = -10, t = -7$

$f(s, t) = 6s^2 + 11t^2 - 16st + 8s - 6t + 21$

$f(-10, -7) = 6(-10)^2 + 11(-7)^2 - 16(-10)(-7) + 8(-10) - 6(-7) + 21$

$f(-10, -7) = 600 + 11(49) - 16(70) - 80 + 42 + 21$

$f(-10, -7) = 600 + 539 - 1120 - 80 + 42 + 21 = 600 + 539 + 42 + 21 - 1120 - 80 = 1202 - 1200 = 2$

計算ミス発見。偏微分を計算し直す。

$f(s, t) = (1 + 2s - 3t)^2 + (4 + s - t)^2 + (-2 + s + t)^2$

$\frac{\partial f}{\partial s} = 2(1 + 2s - 3t)(2) + 2(4 + s - t)(1) + 2(-2 + s + t)(1) = 0$

$4 + 8s - 12t + 8 + 2s - 2t - 4 + 2s + 2t = 0$

$12s - 12t + 8 = 0$

$3s - 3t + 2 = 0$

$\frac{\partial f}{\partial t} = 2(1 + 2s - 3t)(-3) + 2(4 + s - t)(-1) + 2(-2 + s + t)(1) = 0$

$-6 - 12s + 18t - 8 - 2s + 2t - 4 + 2s + 2t = 0$

$-12s + 22t - 18 = 0$

$-6s + 11t - 9 = 0$

連立方程式

$3s - 3t = -2$

$-6s + 11t = 9$

上の式を2倍して下の式に足すと、

$(-6s + 6t) + (-6s + 11t) = -4 + 9$

$5t = 5$

$t = 1$

$3s - 3(1) = -2$

$3s = 1$

$s = \frac{1}{3}$

$P = (2 + 2(\frac{1}{3}), 3 + \frac{1}{3}, 1 + \frac{1}{3}) = (\frac{8}{3}, \frac{10}{3}, \frac{4}{3})$

$Q = (1 + 3(1), -1 + 1, 3 - 1) = (4, 0, 2)$

$PQ^2 = (\frac{8}{3} - 4)^2 + (\frac{10}{3} - 0)^2 + (\frac{4}{3} - 2)^2$

$PQ^2 = (\frac{8 - 12}{3})^2 + (\frac{10}{3})^2 + (\frac{4 - 6}{3})^2$

$PQ^2 = (\frac{-4}{3})^2 + (\frac{10}{3})^2 + (\frac{-2}{3})^2$

$PQ^2 = \frac{16}{9} + \frac{100}{9} + \frac{4}{9} = \frac{120}{9} = \frac{40}{3}$

$PQ = \sqrt{\frac{40}{3}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 10}{3}} = 2\sqrt{\frac{10}{3}} = \frac{2\sqrt{30}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{30}}{3}$