円に内接する四角形ABCDがあり、$∠AOC = 120^\circ$、$∠ABC = \text{エオ}$である。 対角線ACとBDの交点をEとし、点AからBDに下ろした垂線と辺BCとの交点をFとする。 $∠ADB = \text{カキ}^\circ$、$∠DAB = \text{クケ}^\circ$、$∠DAF = \text{コサ}^\circ$ $AF/EF = \frac{\sqrt{\text{シ}}}{\text{ス}}$ となるところ。

画像の問題を解きます。画像には複数の問題が含まれているようですが、左側のページの上部の問題について解答します。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、$∠AOC = 120^\circ$、$∠ABC = \text{エオ}$である。

対角線ACとBDの交点をEとし、点AからBDに下ろした垂線と辺BCとの交点をFとする。

$∠ADB = \text{カキ}^\circ$、$∠DAB = \text{クケ}^\circ$、$∠DAF = \text{コサ}^\circ$

$AF/EF = \frac{\sqrt{\text{シ}}}{\text{ス}}$ となるところ。

2. 解き方の手順

まず、$∠ABC$を求める。四角形ABCDは円に内接するので、$∠ADC + ∠ABC = 180^\circ$が成り立つ。円周角の定理より、$∠AOC = 2 ∠ADC$であり、$∠ADC = 120^\circ / 2 = 60^\circ$。したがって、$∠ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$。つまり、エオは120。

次に、$∠ADB$を求める。$∠AOB = 120^\circ$より、$∠ACB = 60^\circ$。円周角の定理より、$∠ADB = ∠ACB = 30^\circ$。カキは30。

次に、$∠DAB$を求める。$AD$は円の弦なので、$\triangle OAD$は二等辺三角形となる。$∠AOD=360^\circ-120^\circ=240^\circ$なので、$∠ACD = 1/2 ∠AOD = 120^\circ$。四角形ABCDが円に内接していることから、$∠DAB=180-120=60^\circ$となるので$∠DAB =60$ 度。クケは60。

次に、$∠DAF$を求める。$\angle AFD = 90^{\circ}$であるから、$\angle DAF = 90^\circ - \angle ADF$である。$∠ADB = 30^\circ$なので、$∠ADF = 30^\circ$。したがって、$∠DAF = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$。コサは60。

$AF/EF$ を求める。

$\triangle AEF$は直角三角形であり、$∠EAF = 60$度である。$\tan 60 = AF/AE$, $AF/AE= \sqrt{3}$。

三角形$ABH,BEF,DAF$より$\angle FBE = 30$度。すると$EF/AF=AE/(AF/AE), AF=AE$,$EF=AE$. よって、$EF = \frac{1}{\sqrt{3}}AF$。

$AE/AEF = \sqrt{3/3}=\sqrt{3}/3$.なので$\text{シ}=3$、$\text{ス}=3$.

3. 最終的な答え

* $∠ABC = 120^\circ$

* $∠ADB = 30^\circ$

* $∠DAB = 60^\circ$

* $∠DAF = 60^\circ$

* $AF/EF = \frac{\sqrt{3}}{1}$

$\text{シ} = 3$

$\text{ス} = 1$