$xyz$ 空間において、 $S: x^2 - y^2 + z^2 = 0$ で表される立体がある。この立体 $S$ を平面 $z = 2$ で切ったときの切り口は双曲線になる。この双曲線の焦点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

$xyz$ 空間において、 $S: x^2 - y^2 + z^2 = 0$ で表される立体がある。この立体 $S$ を平面 $z = 2$ で切ったときの切り口は双曲線になる。この双曲線の焦点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、立体 $S$ の式 $x^2 - y^2 + z^2 = 0$ に $z = 2$ を代入して、平面 $z=2$ による切り口の式を求める。

$x^2 - y^2 + 2^2 = 0$

$x^2 - y^2 = -4$

$\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{4} = 1$

これは双曲線の標準形 $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ で、$a^2 = 4$, $b^2 = 4$ である。

したがって、$a = 2$, $b = 2$。

双曲線の焦点の座標は $(0, \pm \sqrt{a^2 + b^2})$ である。

$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

したがって、双曲線の焦点の座標は $(0, \pm 2\sqrt{2})$ である。

ただし、これは $z=2$ 平面上での座標なので、$xyz$ 空間での座標は $(0, 2\sqrt{2}, 2)$ と $(0, -2\sqrt{2}, 2)$ となる。

3. 最終的な答え

$(0, 2\sqrt{2}, 2)$, $(0, -2\sqrt{2}, 2)$