問題100は、台形ABCDにおいて、AD // BC, AD = 3, BC = 5, 対角線の交点をEとする。BE = 2, $\cos \angle DBC = \frac{13}{20}$のとき、以下の値を求める問題である。 (1) BDの長さ (2) $\triangle BCE$の面積 (3) 台形ABCDの面積 (4) $\triangle BCE$の内接円の半径

1. 問題の内容

問題100は、台形ABCDにおいて、AD // BC, AD = 3, BC = 5, 対角線の交点をEとする。BE = 2, $\cos \angle DBC = \frac{13}{20}$のとき、以下の値を求める問題である。

(1) BDの長さ

(2) $\triangle BCE$の面積

(3) 台形ABCDの面積

(4) $\triangle BCE$の内接円の半径

2. 解き方の手順

(1) BDの長さ

$\triangle DBC$において、余弦定理より、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2BC \cdot CD \cdot \cos \angle DBC$

$BD^2 = BE^2 + DE^2 - 2BE \cdot DE \cdot \cos \angle BED$

$\triangle DBC$において、$BD^2 = BC^2 + BE^2 - 2 \cdot BC \cdot BE \cdot \cos \angle DBC$

$BD^2 = 5^2 + 2^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot \frac{13}{20}$

$BD^2 = 25 + 4 - 13 = 16$

$BD = 4$

(2) $\triangle BCE$の面積

$\cos \angle DBC = \frac{13}{20}$なので、

$\sin^2 \angle DBC = 1 - \cos^2 \angle DBC = 1 - (\frac{13}{20})^2 = 1 - \frac{169}{400} = \frac{231}{400}$

$\sin \angle DBC = \sqrt{\frac{231}{400}} = \frac{\sqrt{231}}{20}$

$\triangle BCE$の面積は、

$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot BE \cdot \sin \angle DBC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{231}}{20} = \frac{\sqrt{231}}{4}$

(3) 台形ABCDの面積

$\triangle ADE \sim \triangle CBE$であり、相似比は$AD:BC = 3:5$なので、

$AE:EC = DE:EB = 3:5$

$DE = \frac{3}{5} BE = \frac{3}{5} \cdot 2 = \frac{6}{5}$

$\triangle ADE$の面積 : $\triangle CBE$の面積 = $3^2 : 5^2 = 9:25$

$\triangle ADE$の面積 = $(\frac{3}{5})^2 \cdot \triangle BCE$の面積 = $\frac{9}{25} \cdot \frac{\sqrt{231}}{4} = \frac{9\sqrt{231}}{100}$

$\triangle ABE$の面積 = $\triangle CDE$の面積 = $\frac{3}{5} \triangle BCE$の面積 = $\frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{231}}{4} = \frac{3\sqrt{231}}{20}$

台形ABCDの面積 = $\triangle ADE$の面積 + $\triangle BCE$の面積 + $\triangle ABE$の面積 + $\triangle CDE$の面積

= $\frac{9\sqrt{231}}{100} + \frac{\sqrt{231}}{4} + \frac{3\sqrt{231}}{20} + \frac{3\sqrt{231}}{20}$

= $\frac{9\sqrt{231} + 25\sqrt{231} + 15\sqrt{231} + 15\sqrt{231}}{100}$

= $\frac{64\sqrt{231}}{100} = \frac{16\sqrt{231}}{25}$

(4) $\triangle BCE$の内接円の半径

$\triangle BCE$の面積 = $\frac{\sqrt{231}}{4}$

$BC = 5$, $BE = 2$, $CE = \frac{5}{3} AE = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5} BE = \frac{5}{3} \cdot \frac{6}{5} = 2$

$s = \frac{BC + BE + CE}{2} = \frac{5+2+2}{2} = \frac{9}{2}$

$\triangle BCE$の面積 = $r \cdot s = r \cdot \frac{9}{2}$

$r = \frac{2}{9} \cdot \frac{\sqrt{231}}{4} = \frac{\sqrt{231}}{18}$

3. 最終的な答え

(1) BDの長さ: 4

(2) $\triangle BCE$の面積: $\frac{\sqrt{231}}{4}$

(3) 台形ABCDの面積: $\frac{16\sqrt{231}}{25}$

(4) $\triangle BCE$の内接円の半径: $\frac{\sqrt{231}}{18}$