ベクトル $\vec{a} = (1, 3)$ とベクトル $\vec{b} = (2, 1)$ が与えられているとき、$|\vec{a} + t\vec{b}| = 5\sqrt{2}$ を満たす実数 $t$ の値を求めます。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, 3)$ とベクトル $\vec{b} = (2, 1)$ が与えられているとき、$|\vec{a} + t\vec{b}| = 5\sqrt{2}$ を満たす実数 $t$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a} + t\vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} + t\vec{b} = (1, 3) + t(2, 1) = (1 + 2t, 3 + t)$

次に、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ を計算します。

$|\vec{a} + t\vec{b}| = \sqrt{(1+2t)^2 + (3+t)^2} = \sqrt{1 + 4t + 4t^2 + 9 + 6t + t^2} = \sqrt{5t^2 + 10t + 10}$

問題文より、$|\vec{a} + t\vec{b}| = 5\sqrt{2}$なので、

$\sqrt{5t^2 + 10t + 10} = 5\sqrt{2}$

両辺を2乗すると、

$5t^2 + 10t + 10 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50$

$5t^2 + 10t + 10 - 50 = 0$

$5t^2 + 10t - 40 = 0$

両辺を5で割ると、

$t^2 + 2t - 8 = 0$

$(t+4)(t-2) = 0$

したがって、$t = -4$ または $t = 2$

3. 最終的な答え

$t = -4, 2$