長方形ABCDにおいて、辺ABの延長線上に点Eがあり、$AC = AE$である。点Eから対角線ACに垂線をひき、ACとの交点をFとする。また、辺BCと線分EFとの交点をGとする。$AB = 6cm$, $BC = 8cm$, $AC = 10cm$であるとき、線分FCの長さを求め、三角形BEFの面積を求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、辺ABの延長線上に点Eがあり、$AC = AE$である。点Eから対角線ACに垂線をひき、ACとの交点をFとする。また、辺BCと線分EFとの交点をGとする。$AB = 6cm$, $BC = 8cm$, $AC = 10cm$であるとき、線分FCの長さを求め、三角形BEFの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分FCの長さを求める。

$\triangle ABC$は直角三角形であり、$AB=6$, $BC=8$, $AC=10$である。

$\triangle AFE$も直角三角形であり、$AC=AE=10$である。

$\triangle AFE$と$\triangle ABC$は相似である(2つの角がそれぞれ等しい)。

$\angle BAC = \angle FAE$を$\theta$とする。

$AF = AC \cos{\theta} = AE \cos{\theta}$.

$\triangle AFC$において、$\angle AFC = 90^{\circ}$なので、

$FC = AC - AF = AC - AE \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$FC = 10 - 10 \cdot \frac{3}{5} = 10 - 6 = 4$.

線分FCの長さは4cmである。

(2) $\triangle BEF$の面積を求める。

まず、$\triangle AFE$の面積を求める。

$AF = AC \cdot \frac{AB}{AC} = 10 \cdot \frac{6}{10} = 6$

$EF = \sqrt{AE^2 - AF^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$.

$\triangle AFE = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot EF = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$.

$\triangle ABC$の面積は$\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$である。

$\triangle ABC$と$\triangle AFE$は合同である。

$BE = AE - AB = 10$

$BF = \sqrt{AB^2 + AF^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72}$

$BF = AB/ sin \angle A = \sqrt{2} *AB$.

$\triangle BEF = \frac{1}{2} *BE * EF * \sin \angle E$

$AE = AC$, $AF \perp EF$より、$\triangle AFE$は直角三角形。

$\angle BAC = \theta$とすると、$\cos{\theta} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$, $\sin{\theta} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

$\angle AFE = 90^{\circ}$より、$EF = AE \sin{\theta} = 10 \cdot \frac{4}{5} = 8$。

$BE = \sqrt{6^2 + AE^2 - 2 *6*AE * \cos \theta } = \sqrt{72}$

$\triangle ABE$の面積を求めます.

$AB=6$、$AE=10$、$\angle BAE = 180 - \theta$, $\sin(180-\theta)=\sin\theta = \frac{4}{5}$

面積は$\frac{1}{2} \times 6 \times 10 \times \frac{4}{5} = 24$

面積は、

$\triangle AFE + \triangle ABC - \triangle ABF -FCG$

3. 最終的な答え

(1) 線分FCの長さ: 4 cm

(2) $\triangle BEF$の面積: 24 cm^2