(1) 3点P(1, 3, 3), Q(3, 3, 1), R(4, 2, 5)があるとき、ベクトル$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}$の成分と、$\overrightarrow{PQ}$と$\overrightarrow{PR}$を2辺とする平行四辺形の面積を求める。 (2) 3点P(4, -3, 2), Q(7, -2, -1), R(6, -5, 3)を通る平面の方程式を行列式を用いて求める。

1. 問題の内容

(1) 3点P(1, 3, 3), Q(3, 3, 1), R(4, 2, 5)があるとき、ベクトル$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}$の成分と、$\overrightarrow{PQ}$と$\overrightarrow{PR}$を2辺とする平行四辺形の面積を求める。

(2) 3点P(4, -3, 2), Q(7, -2, -1), R(6, -5, 3)を通る平面の方程式を行列式を用いて求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、ベクトル$\overrightarrow{PQ}$と$\overrightarrow{PR}$を求める。

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = (3-1, 3-3, 1-3) = (2, 0, -2)$

$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OP} = (4-1, 2-3, 5-3) = (3, -1, 2)$

次に、外積$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}$を計算する。

$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(2) - (-2)(-1) \\ (-2)(3) - (2)(2) \\ (2)(-1) - (0)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -10 \\ -2 \end{pmatrix}$

したがって、$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = (-2, -10, -2)$である。

平行四辺形の面積は、外積の絶対値で与えられる。

$S = |\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}| = \sqrt{(-2)^2 + (-10)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 100 + 4} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$

(2)

平面上の任意の点をP'(x, y, z)とする。

ベクトル$\overrightarrow{PP'} = (x-4, y+3, z-2)$, $\overrightarrow{PQ} = (7-4, -2+3, -1-2) = (3, 1, -3)$, $\overrightarrow{PR} = (6-4, -5+3, 3-2) = (2, -2, 1)$

3点が同一平面上にある条件は、

$\overrightarrow{PP'} \cdot (\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}) = 0$

つまり、

$\begin{vmatrix} x-4 & y+3 & z-2 \\ 3 & 1 & -3 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 0$

行列式を展開すると

$(x-4)(1 - 6) - (y+3)(3 + 6) + (z-2)(-6 - 2) = 0$

$(x-4)(-5) - (y+3)(9) + (z-2)(-8) = 0$

$-5x + 20 - 9y - 27 - 8z + 16 = 0$

$-5x - 9y - 8z + 9 = 0$

$5x + 9y + 8z - 9 = 0$

3. 最終的な答え

(1) 外積ベクトル$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}$の成分は $(-2, -10, -2)$であり、平行四辺形の面積は$6\sqrt{3}$である。

(2) 平面の方程式は$5x + 9y + 8z - 9 = 0$である。