三角形ABCにおいて、辺BC, CA, ABの長さをそれぞれ$a, b, c$とする。三角形ABCの内心をI、外心をOとする。 (1) $\vec{AI} = r\vec{AB} + s\vec{AC}$ となる実数 $r, s$ を $a, b, c$ を用いて表せ。 (2) 頂点Aに対応する内角の大きさが $\frac{\pi}{3}$ であるとき、$\vec{AO} = t\vec{AB} + u\vec{AC}$ となる実数 $t, u$ を $b, c$ を用いて表せ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BC, CA, ABの長さをそれぞれ$a, b, c$とする。三角形ABCの内心をI、外心をOとする。

(1) $\vec{AI} = r\vec{AB} + s\vec{AC}$ となる実数 $r, s$ を $a, b, c$ を用いて表せ。

(2) 頂点Aに対応する内角の大きさが $\frac{\pi}{3}$ であるとき、$\vec{AO} = t\vec{AB} + u\vec{AC}$ となる実数 $t, u$ を $b, c$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 内心の性質より、AIは角Aの二等分線である。角Aの二等分線と辺BCの交点をDとすると、BD:DC = AB:AC = c:bである。

よって、$\vec{AD} = \frac{b\vec{AB} + c\vec{AC}}{b+c}$

また、AI:ID = (AB+AC):BC = (c+b):a

$\vec{AI} = \frac{c+b}{a+b+c}\vec{AD}$

$\vec{AI} = \frac{c+b}{a+b+c} \frac{b\vec{AB} + c\vec{AC}}{b+c}$

$\vec{AI} = \frac{b}{a+b+c}\vec{AB} + \frac{c}{a+b+c}\vec{AC}$

よって、$r = \frac{b}{a+b+c}, s = \frac{c}{a+b+c}$

(2) $\vec{AO}$ は外心Oの位置ベクトルである。

Aの対辺BCの中心をMとすると、$\vec{AO} \perp \vec{BC}$である。また、$\angle BAC = \frac{\pi}{3}$なので、$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}||\vec{AC}|\cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}bc$

$\vec{AO} = t\vec{AB} + u\vec{AC}$

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$

$\vec{AO} \cdot \vec{BC} = (t\vec{AB} + u\vec{AC}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = 0$

$t\vec{AB}\cdot\vec{AC} - t|\vec{AB}|^2 + u|\vec{AC}|^2 - u\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 0$

$\frac{1}{2}bct - tc^2 + ub^2 - \frac{1}{2}bcu = 0$

$t(\frac{1}{2}bc - c^2) + u(b^2 - \frac{1}{2}bc) = 0$

$t(b-2c) + u(2b-c) = 0$

$t(2c-b) = u(2b-c)$

$t = k(2b-c), u=k(2c-b)$ と置ける。

外心の性質として、 $|\vec{AO}| = R$ である。

$R = \frac{a}{2\sin{A}} = \frac{a}{2\sin{\frac{\pi}{3}}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

$|\vec{AO}|^2 = (t\vec{AB} + u\vec{AC})\cdot(t\vec{AB} + u\vec{AC})$

$= t^2 |\vec{AB}|^2 + 2tu(\vec{AB}\cdot\vec{AC}) + u^2|\vec{AC}|^2 = R^2$

$t^2 c^2 + 2tu(\frac{1}{2}bc) + u^2b^2 = \frac{a^2}{3}$

$t^2 c^2 + tbc u + u^2b^2 = \frac{a^2}{3}$

$k^2(2b-c)^2 c^2 + k^2(2b-c)(2c-b)bc + k^2(2c-b)^2b^2 = \frac{a^2}{3}$

余弦定理より、$a^2 = b^2+c^2-2bc\cos{A} = b^2+c^2-bc$

$k^2(4b^2-4bc+c^2)c^2 + k^2(4bc-2b^2-4c^2+bc)bc + k^2(4c^2-4bc+b^2)b^2 = \frac{b^2+c^2-bc}{3}$

$k^2(4b^2c^2-4bc^3+c^4 + 5b^2c^2-2b^3c-4bc^3 + 4b^2c^2-4b^3c+b^4) = \frac{b^2+c^2-bc}{3}$

$k^2(13b^2c^2-8bc^3-6b^3c+c^4+b^4) = \frac{b^2+c^2-bc}{3}$

ここからkを求めるのは難しいので、他に簡単な解法があるかもしれません。

別の解法を探したほうが良いかもしれません。

一旦、保留とします。

3. 最終的な答え

(1) $r = \frac{b}{a+b+c}, s = \frac{c}{a+b+c}$

(2) 計算中